Question

1)Calcule na forma de um único radical cada uma das seguintes expressões:

a)$\sqrt{75}+ \sqrt{12}- \sqrt{48}$

b)$\sqrt{6}+2 \sqrt{24}- \sqrt{54}- \sqrt{150}$

c)$2 \sqrt[3]{54}- \sqrt[3]{250}+3 \sqrt[3]{16}$

d)$\sqrt{500}+ \sqrt{200}+ \sqrt{8}+ \sqrt{45}$

Answer 1

a)  fatora 75|3                     fatora 12|2                     fatora  48|2
              25|5                                6|2                               24|2    2x2√3
                5|5                                3|3                               12|2      4√3
                1|      5√3        +             1|     2√3   -                   6|2 
                                                                                         3|3
                                                                                          1
Agora vamos la preserva a raiz 5+2-4 = 7 - 4 = 3√3 se quiser saber multiplica 3x3 = 9 x 3 = 27 

Agora a B) fatora 6|2
                          3|3
                           1                    √2·3

Fatora o 24 da raiz la 24|2
                                12|2                        Então fica 2√2x3
                                  6|2                              agora faz x o 2 la de cima     2x2√6
                                  3|3                                                                          4√6
                                  1|

Fatora 54|2
          27|3
            9|3                       3√2x3
            3|3                       3√ 6 
              1 
     FATORA o 150|2
                       75| 3                              5√2x3 
                        25 | 5                             5√6
                         5|5 
                           1 

Agora vamos resolver 1+4 -3 -5 = 5 - 8 = -3√6    3x3 = 9 x6 = 54

Agora vou fatorar aqui no meu caderno as outras. 
C)  2∛54 - ∛250 + 3∛16

Fatora se o 54 Fica 3x2∛2
                               6∛2   -  5∛2 

Fatora o 250 e faz grupo de 3 vamos la : 5∛2 

agora fatora o 3∛16 então fatora o 16 = 2∛2 agora faz x o 3 que ja tava do outro lado 2x3∛2 = 6∛2

agora vamos la preserva a raiz que e ∛2 então agora soma o que está fora 6 - 5 + 6 = 7
Então fica 7∛2 = 7x7x7 = 343 x 2 = 686


Agora a ultima a D) fatora o 500 = 5x2√5 = 10√5
agora fatora o 200  =                   2x5√2 = 10√2
Agora fatora o 8     =                                 2√2 
Agora fatora o 45   =                             3√5 
Agora soma os da mesma raiz de √5 =  10+3= 13√5   
agora com raiz 2 somamos 10 + 2 = 12√2 
agora fica assim 13√5 + 12√2 
Se quiser transformar em numeros dnv faça 13x13x5 = 845
Agora tambem  faça com o 12x12x2 = 288
 
Espero ter ajudado

Answer 2

a) √75 + √12 - √48 =

Fatorizando:

75|3
25 |5
5  |5
1

√75 = $\sqrt{3* 5^{2} } = 5 \sqrt{3}$

12|2
6 |2
3 |3
1

√12 = $\sqrt{ 3* 2^{2} } = 2 \sqrt{3}$

48|2
24|2
12|2
6|2
3|3
1

√48 = $\sqrt{ 2^{2}* 2^{2} *3 } = 2*2 \sqrt{3} = 4 \sqrt{3}$

5√3 + 2√3 - 4√3 = 7√3 - 4√3 = 3√3 

b) √6 + 2√24 - √54 - √150 

Fatorizando: 
6|2
3|3
1

√6 = √(2*3) (parêntesis significa que tudo está dentro da raíz) 

Logo suspeita-se que este 6 poderá ser a nossa "base" para as restantes. Deixemos ficar √6 e trabalhemos as outras

2√24 = 2√(2²*2*3) = 2*2 √(2*3)= 4√6 <---- aí está! 6 será o valor pertinente a deixar ficar debaixo de todas as raízes a serem simplificadas.

24|2
12|2
6|2
3

√54 = √(2*3*3²)= 3√(2*3)= 3√6

54|2
27|3
9|3
3|3
1

√150 = √(2*3*5²)=5√6

150|2
75|3
25|5
5|5
1

Logo:
√6 + 2√24 - √54 - √150  = √6 +4√6 -3√6 -5√6 = -3√6


c) 2 ∛54 - ∛250 + 3∛16 


Observando a fatorização do número 54 na alínea anterior:
2∛54  =2 ∛(2*3³) = 6∛2 

∛250 = ∛(2*5³)= 5∛2

250|2
125|5
25|5
5|5
1 

3∛16  = 3*∛(2³*2)= 6∛2

16|2
8|2
4|2
2|2
1 

 2 ∛54 - ∛250 + 3∛16  =  6∛2  - 5∛2 + 6∛2 = 7∛2 


d)√500 + √200 + √8 + √45

Comecemos por fatorizar a raíz de menor valor:
√8 = √(2² x 2) = 2√2

8|2
4|2
2|2
1

√500 = √(2²*5²*5)= 10√5

500|2
250|2
125|5
25|5
5|5
1 

√45 = √(3²*5)= 3√5

45|3
15|3
5|5
1

√200 = √(2²*2*5²)=10√2
200|2
100|2
50|2
25|5
5|5
1

√500 + √200 + √8 + √45 = 10√5 + 10√2 + 2√2 + 3√5 (juntam-se raízes com o mesmo número debaixo da raíz) = 13√5 + 12√2 <- não é possível simplificar mais! 

Tudo mais fácil?
Qualquer dúvida disponha!
Lamento pelo tempo demorado, mas é um exercício enorme! :)
Bom trabalho!