Question

1- calcule as equações
a) log6 (2x+3)= log6 (x-1)

b) log (7x+3) = log (5x-2)

c) log2 (x^2+4x)=2

d) log5 (x^2+3x-1)=0

Answer 1

Neste exercício, utilizaremos a definição, propriedades e as condições de existência dos logaritmos. Vamos então fazer um breve resumo desses pontos antes de prosseguir.

$\sf De finicao~de~Logaritmo:~~ \boxed{\sf \log_ba=c~\Longleftrightarrow~a=b^c}\\\\\\Propriedade~do~Logaritmo~do~Produto:~~\boxed{\sf \log_b(a\cdot c)=\log_ba+\log_bc}\\\\Propriedade~do~Logaritmo~do~Quociente:~~\boxed{\sf \log_b\left(\dfrac{a}{c}\right)=\log_ba-\log_bc}\\\\Propriedade~do~Logaritmo~da~Potencia:~~\boxed{\sf \log_ba^c=c\cdot \log_ba}\\\\Propriedade~da~Troca~de~Base:~~\boxed{\sf \log_ba=\dfrac{\log_ca}{\log_cb}}$

$\sf Para~o~logaritmo~\log_ba,~temos~as~seguintes~condicoes~de~existencia:\\\\\boxed{\begin{array}{ccc}\sf a&>&0\\b&>&0\\b&\ne&1\end{array}}$

a)

$\sf \log_6(2x+3)~=~\log_6(x-1)\\\\\\\log_6(2x+3)-\log_6(x-1)~=~0\\\\\\Aplicando~a~propriedade~do~\underline{logaritmo~do~quociente}:\\\\\\\log_6\left(\dfrac{2x+3}{x-1}\right)~=~0\\\\\\Aplicando~a ~\underline{de finicao~de~logaritmo}:\\\\\\\log_6\left(\dfrac{2x+3}{x-1}\right)=0~~\Longleftrightarrow~~\boxed{\sf \dfrac{2x+3}{x-1}=6^0}$

Chegamos em uma equação algébrica a partir da equação logarítmica.

Assim, se houver, a solução da equação logarítmica estará no conjunto solução dessa equação algébrica.

$\sf \dfrac{2x+3}{x-1}=6^0\\\\\\\dfrac{2x+3}{x-1}=1\\\\\\2x+3~=~1\cdot (x-1)\\\\\\2x+3~=~x-1\\\\\\2x-x~=\,-1-3\\\\\\\boxed{\sf x~=\,-4}$

Agora, utilizando as condições de existência, vamos verificar se x=-4 é, também, uma solução para a equação logarítmica.

$\sfPara~x=-4~, temos:\\\\\log_6(2x+3)~~\Longrightarrow~\log_6(2\cdot(-4)+3)~=~\log_6(-8+3)~=~\boxed{\sf \log_6(-5)}\\\\\log_6(x-1)~~\Longrightarrow~\log_6(-4-1)~=~\boxed{\sf \log_6(-5)}$

Como podemos ver, embora a condição de existência imposta as bases dos logaritmos tenha sido atendida (base>0 e base≠1), a condição imposta aos logaritmandos não foi.

Note que os logaritmandos para x=-4 ficam negativos.

Dessa forma, x=-4 não é solução para a equação logarítmica.

Resposta: Não há soluções Reais para a equação logarítmica.

b)

$\sf \log(7x+3)~=~\log(5x-2)\\\\\\\log(7x+3)-\log(5x-2)~=~0\\\\\\Aplicando~a~propriedade~do~\underline{logaritmo~do~quociente}:\\\\\\\log\left(\dfrac{7x+3}{5x-2}\right)~=~0\\\\\\Aplicando~a ~\underline{de finicao~de~logaritmo}:\\\\\\\log\left(\dfrac{7x+3}{5x-2}\right)=0~~\Longleftrightarrow~~\boxed{\sf \dfrac{7x+3}{5x-2}=10^0}$

Chegamos em uma equação algébrica a partir da equação logarítmica.

Assim, se houver, a solução da equação logarítmica estará no conjunto solução dessa equação algébrica.

$\sf \dfrac{7x+3}{5x-2}=10^0\\\\\\\dfrac{7x+3}{5x-2}=1\\\\\\7x+3~=~1\cdot (5x-2)\\\\\\7x+3~=~5x-2\\\\\\7x-5x~=\,-2-3\\\\\\2x~=\,-5\\\\\\\boxed{\sf x~=\,-2,5}$

Agora, utilizando as condições de existência, vamos verificar se x=-2,5 é, também, uma solução para a equação logarítmica.

$\sf Para~x=-2,5~, temos:\\\\\log(7x+3)~~\Longrightarrow~\log(7\cdot(-2,5)+3)~=~\log(-17,5+3)~=~\boxed{\sf \log(-14,5)}\\\\\log(5x-2)~~\Longrightarrow~\log(5\cdot (-2,5)-2)~=~\log(-12,5-2)~=~\boxed{\sf \log(-14,5)}$

Como podemos ver, embora a condição de existência imposta as bases dos logaritmos tenha sido atendida (base>0 e base≠1), a condição imposta aos logaritmandos não foi.

Note que os logaritmandos para x=-2,5 ficam negativos.

Dessa forma, x=-2,5 não é solução para a equação logarítmica.

Resposta: Não há soluções Reais para a equação logarítmica.

c)

$\sf Aplicando~a ~\underline{de finicao~de~logaritmo}:\\\\\log_2\left(x^2+4x\right)=2~~\Longleftrightarrow~~\boxed{\sf x^2+4x=2^2}$

Chegamos em uma equação algébrica a partir da equação logarítmica.

Assim, se houver, a solução da equação logarítmica estará no conjunto solução dessa equação algébrica.

$\sf x^2+4x~=~2^2\\\\\\x^2+4x~=~4\\\\\\x^2+4x-4~=~0\\\\\\Aplicando~Bhaskara, ~temos:\\\\\\\Delta~=~4^2-4\cdot 1\cdot 4~=~16~-~16~\Rightarrow~\boxed{\sf \Delta~=~0}\\\\\\x'~=~x''~=~\dfrac{-4+\sqrt{0}}{2\cdot 1}~=~\dfrac{4+0}{2}~\Rightarrow~\boxed{\sf x'=x''=2}$

Agora, utilizando as condições de existência, vamos verificar se x=-2 é, também, uma solução para a equação logarítmica.

$\sf Para~x=2,~temos:\\\\\log_2(x^2+4x)~\Longleftrightarrow~\log_2(2^2+4\cdot 2)~=~\log_2(4+8)~=~\boxed{\sf \log_212}$

Todas condições de existência são atendidas, ou seja, temos base positiva e diferente de 1 e logaritmando positivo, portanto x=2 é, também, solução da equação logarítmica.

Resposta: x=2

d)

A resposta ficou muito grande, então a letra (d) precisou ser anexada.

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$