Question

1) Calcule as derivadas das funções abaixo: a- f(x) = tg(5x²+3x+1)
b- g (x) = (4x³-2x²+2x)8 (8 é expoente)

c- h(x) = ln (sen³x+3)

d- u (x) = 5Ѵsen³x (5 é raiz quinta)

Answer 1

Olá!

Vamos usar a Regra da Cadeia nesses exercícios. Há dois modos de escrever:

$[f(g(x))]' = g'(x)f'(g(x))\\ \\ \\ ou\\ \\ \\ \frac{d}{dx} f(g(x)) =\frac{df}{du}\ \frac{du}{dx}, \ \ \ u = g(x)$

No fim, a ideia delas é a mesma: Derivada da função  'de dentro' multiplicada pela derivada da 'de fora' (avaliada na de dentro).

Vamos lá:

a) 

$f(x) = tg(5x^2+3x+1)\\ \\ f'(x) = (5x^2+3x+1)' [tg(5x^2+3x+1)]'\\ \\ \boxed{f'(x) = (10x+3)sec^2(5x^2+3x+1)}$


b) 

$g(x) = (4x^3-2x^2+2x)^8\\ \\ g'(x) = (4x^3-2x^2+2x)' \cdot 8(4x^3-2x^2+2x)^7\\ \\ \boxed{g'(x) = 16(6x^2 -2x + 1)(4x^3-2x^2+2x)^7}$

c)

$h(x) = \ell n (sen^3x + 3)\\ \\ h'(x) = (sen^3x + 3)'\cdot \dfrac{1}{sen^3x + 3}\\ \\ h'(x) = (sen(x)'\cdot 3sen^2x)\cdot\dfrac{1}{sen^3x + 3}\\ \\ \boxed{h'(x) = \dfrac{3sen^2x\ cos\ x}{sen^3x + 3}}$


d)

$u(x) = \sqrt[5]{sen^3x} = [sen(x)]^{\frac35}\\ \\ u'(x) = sen(x)'\cdot \frac{3}{5} [sen(x)]^{\frac35 - 1}\\ \\ \boxed{u'(x) = \frac35 cos(x) [sen(x)]^{-\frac25}}$

Dúvidas? Comente.

Bons estudos :)