Question

1) Calcule as derivadas das funções

Answer 1

As soluções:

$a)y'=\frac{-12}{x^{5} }$            $b)g(x)' = \frac{4x^{\frac{1}{3} } }{3}$            $c)f(t)'=\frac{3t^2-6t-4}{(t-1)^2}$      $d)y'=24x^3+12x^2+84x+28$              $e)g(x)'=10e^{x^{2} } x$       $f)f(x)'=\frac{3x^2-2}{x^3-2x}$

$g)f(x)'= \frac{2(6x+5)}{3(3x^{2}+5x-1)^{\frac{1}{3}}}$        $h)y'=-5senx+4cosx$            $i)f(x)'=3(tgx)+ x sec^2(x)$          

Derivada de uma Função

$a) y=\frac{3}{x^4}$  

  $y= 3.x^{-4}$

  Regra do Produto    

  $f=3$            $g=x^{-4}$

  $y'=f'.g + f.g'$

  $y'=0.x^{-4} + 3.\frac{-4}{x^{5} }$

  $y'=\frac{-12}{x^{5} }$

$b) g(x)=(\sqrt[3]{x^{4} }$

  $g(x)=x^{\frac{4}{3} }$

  $g(x)'= \frac{4}{3}x^{\frac{4}{3}-1$

  $g(x)' = \frac{4x^{\frac{1}{3} } }{3}$

$c) f(t)=\frac{3t^2+5t-1}{t-1}$

  Regra do Quociente

  $(\frac{f}{g})'=\frac{f'.g-g'.f}{g^{2} }$

  $f(t)'=\frac{(6t+5)(t-1)-[1.3t^2+5t-1]}{(t-2)^2}$

  $f(t)'=\frac{6t^2-6t+5t-5-[3t^2+5t-1]}{(t-1)^2}$

  $f(t)'=\frac{6t^2-3t^2-6t+5t-5t-5+1}{(t-1)^2}$

  $f(t)'=\frac{3t^2-6t-4}{(t-1)^2}$

$d) y=(6x^2+4x)(x^2+7)$

 Regra do Produto

  $y'= f'.g+f.g'$

  $y'=(6x^2+4x)' . (x^2+7)+(6x^2+4x).(x^2+7)'$

  $y'= (12x+4)(x^2+7)+2x(6x^2+4x)$

  $y'=12x^3+84x+4x^2+28+12x^3+8x^2$

  $y'=24x^3+12x^2+84x+28$

$e)g(x)=5e^{x^{2} }$

  Repetimos a constante e derivamos x²

   $g(x)'=5e^{x^{2} } .\frac{d}{dx}(x^2)$

   $g(x)'=5e^{x^{2} } .2x$

  $g(x)'=10e^{x^{2} } x$          

$f) f(x) = ln(x^3-2x)$

  Aplicamos a Regra da Cadeia

   $f(x)'=\frac{1}{x^3-2x}.\frac{d}{dx} (x^3-2x)$

   $f(x)'=\frac{1}{x^3-2x} . (3x^2-2)$

   $f(x)'=\frac{3x^2-2}{x^3-2x}$

$g)f(x) = \sqrt[3]{(3x^{2}+5x-1)^2 }$

  $f(x)=(3x^2+5x-1)^{\frac{2}{3} }$

  Regra da Cadeia - derivada da primeira vezes a derivada da segunda.

  $f(x)'= f'.g'$

  $f(x)'=\frac{2}{3}(3x^2+5x-1)^{\frac{1}{3} }.6x+5$

  $f(x)'= (\frac{2}{3(3x^2+5x-1)^{\frac{1}{3} } }) . \frac{d}{dx}(3x^2+5x-1)$

  $f(x)'= \frac{2}{3(3x^{2}+5x-1)^{\frac{1}{3}}} .(6x+5)$

  $f(x)'= \frac{2(6x+5)}{3(3x^{2}+5x-1)^{\frac{1}{3}}}$

$h)y=5cosx+4senx$

   $y'=-5senx+4cosx$

$i)f(x)= 3xtg(x)$

  $f(x)'=3(tgx)+ x sec^2(x)$

$j) f(x)= (5x^4+2x^{-3} )+ 4x^{\frac{-2}{3} }$

  Calculamos as derivadas de cada termo:

  $\frac{d}{dx} (5x^4)= 20x^3$           $\frac{d}{dx} (2^{-3})=\frac{-6}{x^4}$          $\frac{d}{dx} (4x)^{\frac{2}{3} }=\frac{8}{(3x)^{\frac{1}{3} } }$

  Efetuamos as operações indicadas (lembrando de calcular m.m.c.)

  $f(x)'= 20x^3 - \frac{6}{x^4} +\frac{8}{3x^{\frac{1}{3} } }$

  $m.m.c (x^4, 3x^{\frac{1}{3} } )= 3. x^{\frac{13}{3} }$

  $f(x)'=\frac{60x^{\frac{22}{3}}-18x^{\frac{1}{3} } +8x^{\frac{12}{3} } }{3x^{\frac{13}{3} } }$

  $f(x)'=\frac{60x^{\frac{22}{3}}-18x^{\frac{1}{3} } +8x^{4} }{3x^{\frac{13}{3} } }$

 

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