Question

1- Calcule a medida da altura de um triângulo equilátero cujos lados medem:

a) 10 cm
b) 3 m
c)√3 cm
d) 12√2 cm
e)2√6/3 cm

Answer 1

Olá.

Triângulo equilátero consiste em um triângulo que tem todos os seus lados iguais.

Para encontrar a altura dos triângulos equiláteros, vamos utilizar da imagem que adicionei em anexo, onde o segmento vermelho representa a altura do triângulo e os segmentos em azul representam os lados.

No desenho em anexo, o triângulo equilátero foi dividido em dois triângulos retângulos - um na direita, outro na esquerda. Assim sendo, podemos aplicar o Teorema de Pitágoras, onde a soma dos quadrados dos catetos são iguais ao quadrado da hipotenusa.

No caso dessa questão, usarei o triângulo da direita, onde:

AC: lado (l) ou hipotenusa;
AD: altura ou cateto 1;
DC: lado/2 (metade do lado) ou cateto 2.

Pensando no que foi supramencionado, vamos isolar um valor para a altura.

$\mathsf{hipotenusa^2=cateto_1^2+cateto_2^2}\\\\\\\mathsf{l^2=h^2+\left(\dfrac{l}{2}\right)^2}\\\\\\\mathsf{h^2=l^2-\left(\dfrac{l}{2}\right)^2}\\\\\\\mathsf{h^2=l^2-\dfrac{l^2}{4}}$

Igualando frações no segundo membro, teremos:

$\mathsf{h^2=l^2-\dfrac{l^2}{4}}\\\\\\\mathsf{h^2=\dfrac{4}{4}\cdot l^2-\dfrac{l^2}{4}}\\\\\\\mathsf{h^2=\dfrac{4l^2}{4}-\dfrac{l^2}{4}}\\\\\\\mathsf{h^2=\dfrac{4l^2-l^2}{4}}\\\\\\\mathsf{h^2=\dfrac{3l^2}{4}}$

Encontrando uma fórmula final para a altura, teremos:

$\mathsf{h^2=\dfrac{3l^2}{4}}\\\\\\\mathsf{h=\sqrt{\dfrac{3l^2}{4}}}\\\\\\\mathsf{h=\dfrac{\sqrt{3l^2}}{\sqrt{4}}}\\\\\\\mathsf{\underline{h=\dfrac{l\sqrt{3}}{2}}}$

Utilizando a fórmula que conseguimos no final dos cálculos, podemos resolver as questões de A até E. Vamos aos cálculos.

Questão A: l = 10 cm

$\mathsf{h=\dfrac{l\sqrt{3}}{2}}\\\\\\\mathsf{h=\dfrac{10\sqrt{3}}{2}}\\\\\\\mathsf{h=5\sqrt{3}}\\\\\therefore\\\\\mathsf{h\approx=5\cdot1,73=8,65cm}$

Questão B: l = 3 m

$\mathsf{h=\dfrac{l\sqrt{3}}{2}}\\\\\\\mathsf{h=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}}\\\\\\\mathsf{h=1,5\sqrt{3}}\\\\\therefore\\\\\mathsf{h\approx=1,5\cdot1,73=2,595m}$

Questão C: l = ✓3 m

$\mathsf{h=\dfrac{l\sqrt{3}}{2}}\\\\\\\mathsf{h=\dfrac{\sqrt{3}\sqrt{3}}{2}}\\\\\\\mathsf{h=\dfrac{\sqrt{3^2}}{2}}\\\\\\\mathsf{h=\dfrac{3}{2}}\\\\\\\mathsf{h=1,5m}$

Questão D: l = 12✓2 cm

$\mathsf{h=\dfrac{l\sqrt{3}}{2}}\\\\\\\mathsf{h=\dfrac{12\sqrt{2}\sqrt{3}}{2}}\\\\\\\mathsf{h=\dfrac{12\sqrt{2\cdot3}}{2}}\\\\\\\mathsf{h=6\sqrt{6}}\\\\\therefore\\\\\mathsf{h\approx6\cdot2,45=14,7cm}$

Questão E: l = 2✓6/3

$\mathsf{h=\dfrac{l\sqrt{3}}{2}}\\\\\\ \mathsf{h=l\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}}\\\\\\\mathsf{h=\dfrac{2\cdot\sqrt{6}}{3}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}}\\\\\\\mathsf{h=\dfrac{2\cdot\sqrt{6\cdot3}}{3\cdot2}}\\\\\\\mathsf{h=\dfrac{2\cdot\sqrt{2\cdot3\cdot3}}{6}}\\\\\\\mathsf{h=\dfrac{2\cdot\sqrt{2\cdot3^2}}{6}}\\\\\\\mathsf{h=\dfrac{2\cdot3\sqrt{2}}{6}}\\\\\\\mathsf{h=\dfrac{6\sqrt{2}}{6}}\\\\\\\mathsf{h=\sqrt{2}\approx1,44cm}$

Qualquer dúvida, deixe nos comentários.
Bons estudos.