Question

1) Calcule a integral de linha, sabendo que F= x y i + x² j , orientado positivamente em um retângulo fechado. Use o teorema de Green.


Veja anexo:

Answer 1

Para utilizar o teorema de "GREEN" , basta calcular a integral dupla da região do rotacional do campo "F"

Sempre que tivermos apenas campo na componente "X" e "Y"

$Rot(F) = ( \frac{ dF_{y}} {dx} - \frac{ dF_{x}} {dy} )k$

Sendo,

$\\ F = xyi + x^2j \\ \\ \frac{dF_{y}} {dx} = 2x \\ \\ \frac{dF_{x}} {dy} = x \\ \\ Logo: \\ \\ Rot(F) = (2x - (x) )k = x \\ \\ Rot(F) = xk$
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Portanto, basta calcular a integral da região

$\\ D : \\ \\ 0 \leq y \leq 1 \\ 0 \leq x \leq 3$

Dessa forma:

$\\ = \int\limits^1_0 \int\limits^3_0 {x} \, dxdy \\ \\ = \int\limits^1_0 \frac{x^2}{2} |(0,3)dy \\ \\ = \int\limits^1_0 \frac{9}{2}dy \\ \\ = \frac{9}{2}y|(0,1) \\ \\ =\frac{9}{2}$