Question

1) Calcule:

a. i³⁰

b. i⁵⁵

c. i³¹¹

d. i¹⁰⁰⁰²

Answer 1

Olá, bom dia ◉‿◉.

Assunto: Potência de complexos.

Sabemos que:

$i {}^{0} = \boxed{1} \\ i {}^{1} = \boxed{i }\\ i {}^{2} = \boxed{ - 1} \\ i {}^{3} = i {}^{2} .i = - 1.i = \boxed{- i} \\ i {}^{4} = i {}^{2} .i {}^{2} = ( - 1).( - 1) = \boxed{1} \\ i {}^{5} = i {}^{4} .i = 1i = \boxed{i}$

Note que a partir de i³ o resultado começa a se repetir, então temos apenas 4 possibilidades de resultados (1, i, -1 e -1), então temos que dividir a potência que elevada a "i" por 4 e trabalhar com o resto dessa divisão.

$\large\boxed{\boxed{a)i {}^{30} }} \\ \\ \begin{array}{r|c} 30&4 \\ - 28&7 \\( 2) \end{array}$

O resto da divisão foi igual a (2), então vamos usar apenas ele para saber o resultado.

$i {}^{30} = i {}^{2} = \boxed{ - 1}$

$\boxed{\boxed{b)i {}^{55} }}$

$\begin{array}{ r|c }55 &4 \\ 4&13 \\ 15 \\ - 12 \\ (3)&&&&& \end{array}$

Vemos que o resto é igual a 3, então já sabemos que o que fazer.

$i {}^{55} = i {}^{3} = \boxed{- i}$

$\large\boxed{ \boxed{c) \: i {}^{311} }}$

$\begin{array}{r|c}311&4 \\ - 28&77 \\ 31 \\ - 28 \\ (3)&&&&&&&&&&&\end{array}$

O resto também foi 3.

$i {}^{311} = i {}^{3} = \boxed{ - i}$

$\boxed{ \boxed{d) i { }^{10002} }}$

$\begin{array}{ r|c} 100002&4 \\ - 8&2500\\ 20 \\ - 20 \\ (02)&&&&&&&&&& \end{array}$

O resto foi (2).

$i {}^{10002} = i {}^{2} = \boxed{- 1}$

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️