Question

1.Calcule a área total e o volume de uma esfera de altura 5cm e raio 3cm.

2.calcule a área total e o volume de um fins de diâmetro da base 12cm e altura 8cm.

3.qual a área superficial de uma esfera de raio 10m.

4.em uma casquinha de sorvete em forma de cone, de raio 3cm e altura 10cm foram colocadas duas meias bolas de sorvete em forma de esferas com raio de 3cm. Ao derreter essas duas meias bolas de sorvete dentro da casquinha, o que irá ocorrer? Vai ficar todo sorvete dentro da casquinha, ou o sorvete vai transbordar? Apresente os cálculos da resposta. (Considere pi = 3,14)

5. Uma esfera de 5cm de raio é colocada dentro de um cilindro de altura 6cm e raio 5cm. Qual o volume de ar que ficará dentro do cilindro após a colocação da esfera? ( considere pi = 3,14)

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos estas questões, devemos relembrar algumas propriedades de geometria espacial.

a) Calcule a área total e o volume de um cone de altura 5 cm e raio 3 cm.

Para calcularmos a área total, utilizamos a fórmula:

$A_T=A_b+A_{\ell}$

A área da base $A_b$ é calculada pela fórmula $\pi \cdot r^2$, tal que $r$ é o raio da base e a área lateral é calculada pela fórmula $\pi\cdot g\cdot r$, tal que $g$ é a medida da geratriz do cone.

Logo a área total será dada pela fórmula $A_T=\pi\cdot r^2+\pi\cdot g\cdot r$ ou $A_T=\pi\cdot r\cdot(r+g)$.

Para encontrarmos a medida da geratriz, utilizamos o Teorema de Pitágoras:

$g^2=h^2+r^2$. Substituindo $h=5$ e $r=3$, temos

$g^2=5^2+3^2$

Calcule as potências

$g^2=25+9$

Some os valores

$g^2=34$

Retire a raiz em ambos os lados da equação e assuma a solução positiva, visto que a geratriz é uma medida de figura espacial.

$g=\sqrt{34}$.

Substituindo as informações na fórmula da área, temos:

$A_T=\pi\cdot 3\cdot(3+\sqrt{34})$

Multiplique os valores

$A_T=(9+3\sqrt{34})\pi~cm^2$.

Esta é a área total deste cone.

Seu volume pode ser calculado pela fórmula $V=\dfrac{\pi\cdot r^2\cdot h}{3}$

Substituindo as informações já conhecidas, temos

$V=\dfrac{\pi\cdot3^2\cdot5}{3}$

Simplifique a fração e multiplique os valores

$V=15\pi~cm^3$

b) A área total e o volume de um cone de diâmetro da base igual a 12 cm e altura 8 cm.

Sabendo que o diâmetro é o dobro do raio, temos qe $r=\dfrac{12}{2}=6~cm$.

Utilizando a mesma fórmula, encontraremos a medida da geratriz:

$g^2=8^2+6^2$

Calcule as potências e some os valores

$g^2=64+36\\\\\\ g^2=100$

Retire a raiz em ambos os lados da equação

$g=10$

Logo, substituindo os dados na fórmula da área total discutida anteriormente:

$A_T=\pi\cdot 6\cdot(6+10)$

Some e multiplique os valores

$A_T=\pi\cdot 6\cdot 16\\\\\\ A_T=96\pi~cm^2$

Seu volume será calculado pela mesma fórmula anterior

$V=\dfrac{\pi\cdot 6^2\cdot8}{3}$

Calcule a potência e multiplique os valores

$V=\dfrac{\pi\cdot 36\cdot8}{3}\\\\\\ V=\dfrac{288\pi}{3}$

Simplifique a fração

$V=96\pi~cm^3$

c) Em uma casquinha em forma de cone de raio 3 cm e altura 10 cm, foram colocadas duas meias bolas de sorvete em forma de esferas com raio 3 cm.

Para analisarmos o que ocorrerá com a casquinha, devemos calcular o volume do cone e das duas semiesferas.

Para o volume do cone, utilize a mesma fórmula anterior:

$V=\dfrac{\pi\cdot 3^2\cdot10}{3}$

Simplifique a fração e multiplique os valores

$V=30\pi~cm^3$

O volume das semiesferas é dado pela fórmula $V_{semi}=\dfrac{\left(\dfrac{4\cdot\pi\cdot r^3}{3}\right)}{2}$

Simplificando as frações, temos $V_{semi}=\dfrac{2\cdot \pi\cdot r^3}{3}$.

Porém, como temos duas semiesferas, o volume total de sorvete será:

$2\cdot V_{semi}=2\cdot\dfrac{2\cdot \pi\cdot 3^3}{3}$

Simplifique a fração e multiplique os valores

$V_{sorvete}=4\cdot\pi\cdot 9\\\\\\ V_{sorvete}=36\pi~cm^3$

Considerando a aproximação $\pi\approx 3.14$, temos que

$V_{cone}\approx 94.2~cm^3$ e $V_{sorvete}\approx 113.04~cm^3$

Dessa forma, o sorvete vai transbordar.

d) Uma esfera de 5 cm de raio é colocada em um cilindro de altura 6 cm e raio 5 cm. Qual o volume de ar que ficará dentro do cilindro após colocação da esfera?

O volume de um cilindro é dado pela fórmula $V=\pi\cdot r^2\cdot h$

Substituindo os dados, temos que

$V_{cilindro}=\pi\cdot 5^2\cdot 6$

Calcule a potência e multiplique os valores

$V_{cilindro}=150\pi~cm^3$

Este também é o volume de ar que há dentro do cilindro, antes de colocarmos a esfera.

O volume da esfera é calculado pela fórmula $V=\dfrac{4\cdot\pi\cdot r^3}{3}$

Substituindo os dados, temos

$V_{esfera}=\dfrac{4\cdot \pi\cdot 5^2}{3}$

Calcule a potência e multiplique os valores

$V_{esfera}=\dfrac{4\cdot \pi\cdot 25}{3}\\\\\\ V_{esfera}=\dfrac{100\pi}{3}~cm^3$

O volume de ar que ficará no cilindro após colocarmos a esfera é:

$V_{ar}=V_{cilindro}-V_{esfera}=150\pi-\dfrac{100\pi}{3}$

Some as frações

$V_{ar}=\dfrac{450\pi-100\pi}{3}$

Subtraia os valores

$V_{ar}=\dfrac{350\pi}{3}~cm^3$.

Considerando a aproximação $\pi\approx 3.14$, temos

$V_{ar}\approx 366,33~cm^3$

Estas são as respostas para estas questões.