Question

1. Calcule A^-1 em cada caso:
a)
A=
[1 2]
[3 4]

b) = A =
[0 1]
[-2 3]

2. Dada a matriz A=
[-2 5]
[4 -1] calcule A*A^-1

3. Sendo A=
[-2 4]
[6 2] calcule o elemento a'12 da matriz A^-1.

4. O produto da inversa da matriz A=
[1 1]
[1 2]
pela matriz I =
[1 0]
[0 1]

Answer 1

Sabemos que o produto de uma matriz pela sua inversa é igual à matriz identidade.

Sendo assim,

a) $\left[\begin{array}{ccc}1&2\\3&4\end{array}\right] . \left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right]$

Resolvendo a multiplicação, obtemos o seguinte sistema:

{a + 2c = 1

{b + 2d = 0

{3a + 4c = 0

{3b + 4d = 1

Sendo a = 1 - 2c e b = -2d, temos que:

3(1 - 2c) + 4c = 0

3 - 6c + 4c = 0

3 - 2c = 0

2c = 3

c = 3/2

e

3(-2d) + 4d = 1

-6d + 4d = 1

-2d = 1

d = -1/2.

Logo, a = -2 e b = 1.

Portanto,

$A^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}-2&1\\\frac{3}{1}&-\frac{1}{2}\end{array}\right]$.

b) Da mesma forma, temos que:

$\left[\begin{array}{ccc}0&1\\-2&3\end{array}\right] . \left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right]$

Assim, obtemos o seguinte sistema:

{c = 1

{d = 0

{-2a + 3c = 0

{-2b + 3d = 1

Daí, obtemos: a = 3/2 e b = -1/2.

Portanto, $A^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\\1&0\end{array}\right]$.

2) Como dito inicialmente, o produto $A.A^{-1}$ é igual à matriz identidade.

3) $\left[\begin{array}{ccc}-2&4\\6&2\end{array}\right] . \left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right]$

Temos o seguinte sistema:

{-2a + 4c = 1

{-2b + 4d = 0

{6a + 2c = 0

{6b + 2d = 0

Resolvendo o sistema acima, encontramos: a = -1/14, b = 1/7, c = 3/14, d = 1/14, ou seja,

$A^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{14}&\frac{1}{7}\\\frac{3}{14}&\frac{1}{14}\end{array}\right]$.

Portanto, o elemento a₁₂ é 1/7.

4) $\left[\begin{array}{ccc}1&1\\1&2\end{array}\right] . \left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right]$

Temos o seguinte sistema:

{a + c = 1

{b + d = 0

{a + 2c = 0

{b + 2d = 1

Resolvendo o sistema, encontramos a = 2, b = -1, c = -1 e d = 1:

$A^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}2&-1\\-1&1\end{array}\right]$.

A matriz identidade é o elemento neutro. portanto, o produto da matriz $A^{-1}$ pela matriz identidade resultará na própria matriz $A^{-1}$.