Question

1) Calcular o determinante da matriz
abaixo:
[1 3 0]
[2 5 1 ]
[ 213 ]​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{\begin{vmatrix}1&3&0\\2&5&1\\2&1&3\\\end{vmatrix}=2}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Temos que calcular o determinante da seguinte matriz:

$M=\begin{bmatrix}1&3&0\\ 2&5&1\\ 2&1&3\\\end{bmatrix}$

Passando para a notação de determinante, temos

$\det(M)=\begin{vmatrix}1&3&0\\2&5&1\\2&1&3\\\end{vmatrix}$

Existem vários métodos de resolver este determinante, utilizarei o escalonamento.

O escalonamento consiste no processo de multiplicar uma linha por uma constante e somá-la a outra, de forma a zerar o termo correspondente ao elemento pivô da linha que escolhemos.

De acordo com o Teorema de Jacobi, esse processo não altera o valor do determinante, logo, podemos:

Escolher o elemento pivô, que sempre é um elemento da diagonal principal da matriz

Neste caso, escolheremos o termo $a_{11}=1$

Multiplique a primeira linha por $(-2)$ e some à segunda.

$\begin{vmatrix}1&3&0\\2&5&1\\2&1&3\\\end{vmatrix}~\rightarrow~L_1\cdot(-2)+L_2\\\\\\ \begin{vmatrix}1&3&0\\0&-1&1\\2&1&3\\\end{vmatrix}$

Faça o mesmo com a linha 3, multiplicando a primeira linha por $(-2)$.

$\begin{vmatrix}1&3&0\\0&-1&1\\2&1&3\\\end{vmatrix}~\rightarrow~L_1\cdot(-2)+L_3\\\\\\ \begin{vmatrix}1&3&0\\0&-1&1\\0&-5&3\\\end{vmatrix}$

Zerados todos elementos da primeira fila abaixo do elemento pivô, escolhemos o próximo, neste caso o termo $a_{22}=-1$.

Multiplique a segunda linha por $(-5)$ e soma à terceira.

$\begin{vmatrix}1&3&0\\0&-1&1\\0&-5&3\\\end{vmatrix}~\rightarrow~L_2\cdot(-5)+L_3\\\\\\ \begin{vmatrix}1&3&0\\0&-1&1\\0&0&-2\\\end{vmatrix}$

Logo, a matriz se tornou triangular.

Para calcular o determinante de uma matriz triangular, basta encontrarmos o produto dos termos da diagonal principal

$\det(M)=\begin{vmatrix}1&3&0\\0&-1&1\\0&0&-2\\\end{vmatrix}\\\\\\ \det(M)=1\cdot(-1)\cdot(-2)$

Multiplique os valores

$\det(M) = 2$

Este é o valor do determinante desta matriz.