Question

1) Assinale a alternativa que representa a área do triângulo abaixo, em cm².

Imagem da 1

a) 3
b) 6
c) 9
d) 12
02) Registre o valor da área do triângulo de vértices A (2,4), B (3,8) e C (– 2, 5). *

03) Calcule a coordenada x do ponto A = (x,1) e do ponto B (x,2) sabendo que as coordenadas do ponto C são (4,2), que eles não são colineares e que a área do triângulo formado por eles é igual a 3.

04) Calcule a área do triângulo de vértices A (4 , 0), B (0 , 0) e C (0 , 6).

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

1)

S = 4×3/2 ⇒ S = 6

alternativa b)

2)

|   2     4    1   |    2    4

|   3     8    1   |    3     8

|  -2     5    1   |   -2    5

-16 + 10 + 12 - 16 + 8 - 15 = |-17| = 17

3)

AC = 4 - x

AB = 2 - 1 ⇒ AB = 1

(4 - x)(1)/2 = 3

4 - x = 6

x = -2

4)

C (6)

|

|

|

|

|

B___1___2___3___A(4)

área do Δ ABC = 4×6/2 = 12

Answer 2

Utilizando conceitos de geometria analitica para áreas delimitadas por pontos, temos que:

1) 6 cm²

2) 8,5

3) x = 10 ou x = - 2

4) 12

Explicação passo-a-passo:

1)

Primeiramente vamos descobrir as coordenadas destes pontos que compõe o triangulo.

Como todo pont ode coordenada é dado pela forma (x,y), então sabemos pela figura que os pontos A , B e C tem coordenadas:

A = ( 0 , 0 )

B = ( 4 , 0 )

C = ( 2 , 3 )

E sabemos também que se temos três pontos não colineares do tipo (x1,y1) , (x2,y2) e (x3,y3), podemos calcular a área deste triangulo delimitado por estes três pontos da forma:

$Area = \frac{|D|}{2}$

Onde D é a determinante da matriz a seguir:

$D = \left[\begin{array}{c c c}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\end{array}\right]$

No nosso caso os três pontos necessário são A , B e C , ou seja, nossa matriz D é:

$D = \left[\begin{array}{c c c}0&0&1\\4&0&1\\2&3&1\end{array}\right]$

Assim como sabemos que o calculo de determinante em uma matriz 3x3 é dado pela soma das multiplicações das diagonais principais (diagonais que partem do canto superior esquerdo para o canto inferior direito) subtraidos das multiplicações das diagonais secundarias (diagonais que partem do canto superior direito para o canto inferior esquerdo).  Podemos calcular esta determinante:

$detD = [0.0.1] + [0.1.2] + [1.4.3] - [1.0.2 ] - [0.4.1] - [0.1.3] = 12$

E tendo esta valor de determinante, podemos descobrir a área deste triangulo:

$Area = \frac{|D|}{2}=\frac{12}{2}=6$

Assim temos que esta área é de 6 cm² , letra B.

2)

Da mesma forma, temos uma área delimitado por três coordenadas dadas por:

(x1,y1) = A = (2,4)

(x2,y2) = B = (3,8)

(x3,y3) = C = (-2,5)

E com três coordenadas, podemos montar a matriz D da forma:

$D = \left[\begin{array}{c c c}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\end{array}\right]$

Substituindo as coordenadas, temos:

$D = \left[\begin{array}{c c c}2&4&1\\3&8&1\\-2&5&1\end{array}\right]$

E sabendo como o determinante de matrizes 3x3 se calcula, temos que:

$detD = [2.8.1] + [4.1.(-2)] + [1.3.5] - [1.8.(-2) ] - [4.3.1] - [2.1.5] = 16 - 8 + 15 + 16 - 12 - 10 = 17$

E sabendo o determinante da matriz D, podemos encontrar a área desta região delimitada por estes pontos:

$Area = \frac{|D|}{2}=\frac{17}{2}=8.5$

Assim vemos que o valor desta área é de 8,5 .

3)

Neste caso vamos começar normalmente, porém temos algumas incognitas em nossas coordenadas:

(x1,y1) = A = (x,1)

(x2,y2) = B = (x,2)

(x3,y3) = C = (4,2)

Com estes valores e supondo que estes não são colineares, podemos encontrar a matriz D destes pontos, dada por:

$D = \left[\begin{array}{c c c}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\end{array}\right]$

Substituindo valores, temos:

$D = \left[\begin{array}{c c c}x&1&1\\x&2&1\\4&2&1\end{array}\right]$

E sabendo calcular determinantes de matrizes 3x3, podemos encontrar o determinante desta matriz como sendo:

$detD = [x.2.1] + [1.1.4] + [1.x.2] - [1.2.4 ] - [1.x.1] - [x.1.2] = 2x + 4 + 2x - 8 - x - 2x = x - 4$

Agora usando este valor de determinante vamos usar na formula de área de triangulo delimitado pelos pontos, já sabendo o valor da área que é de 3, e com isso descobrir quanto vale x:

$Area = \frac{|D|}{2}$

$3 = \frac{|x-4|}{2}$

$|x-4|=2\cdot 3$

$|x-4|=6$

Como esta é uma equação modular, temos que separar em dois casos, o caso positivo e o caso negativo onde muda-se o sinal do interior do modulo:

$x_1-4=6 \quad \rightarrow \quad x_1 = 10$

$-x_2+4=6 \quad \rightarrow \quad x_2 = -2$

Assim temos dois possíveis resultados, x pode ser x = 10 ou x = -2.

4)

Da mesma forma, temos uma área delimitado por três coordenadas dadas por:

(x1,y1) = A = (4,0)

(x2,y2) = B = (0,0)

(x3,y3) = C = (0,6)

E com três coordenadas, podemos montar a matriz D da forma:

$D = \left[\begin{array}{c c c}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\end{array}\right]$

Substituindo as coordenadas, temos:

$D = \left[\begin{array}{c c c}4&0&1\\0&0&1\\0&6&1\end{array}\right]$

E sabendo como o determinante de matrizes 3x3 se calcula, temos que:

$detD = [4.0.1] + [0.1.0] + [1.0.5] - [1.0.0 ] - [0.0.1] - [4.1.6] = - 24$

E sabendo o determinante da matriz D, podemos encontrar a área desta região delimitada por estes pontos:

$Area = \frac{|D|}{2}=\frac{|-24|}{2}=\frac{24}{2}=12$

Assim vemos que o valor desta área é de 12 .

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