Question

1)     
As retas y = 4x , y = 2x – 1 e a perpendicular pela
origem à reta y = 2x – 1 determinam um triângulo. Qual a área do referido
triângulo.

 

Answer 1

A reta que é perpendicular a y = 2x – 1 pela origem tem equação y = -1/2 x

Para facilitar vamos associar as equações assim:

Equação (a):  y = 4x
Equação (b): y = 2x - 1
Equação (c): y = -1/2 x

Nosso objetivo inicial é determinar os vértices das intersecções destas 3 retas:

Uma das intersecções é o ponto (0,0) pois tanto a reta (a) como a reta (c) passam na origem. Já temos um vértice.

O segundo vértice vamos determinar pela intersecção das retas (a) e (b):

y = 4x    e   y = 2x -1
4x = 2x -1
2x = -1
x=-1/2
y = -2   Temos outra intersecção: (-1/2; -2)

Finalmente vamos determinar a intersecção de (b) e (c)

y = -1/2 x    e y = 2x - 1
-1/2 x = 2x -1
-x = 4x - 2
-5x = -2
x=2/5
y = -1/5  Temos o terceiro vértice:  (2/5; -1/5)

Agora vamos calcular a área do triângulo, usando a fórmula da GA:


$A=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{ccc}0&0&1\\-\frac{1}{2}&-2&1\\\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}&1\end{array}\right] \\ \\ \\ \boxed{A=\frac{1}{2}.\frac{9}{10}=\frac{9}{10}}$