Question

1) As raízes da equação 2x^2-2mx+3=0 são positivas e uma é o triplo da outra. Calcule o valor de m ?

2) Uma das raízes reais da equação x^2+px+27=0 é o quadrado da outra. Qual é o valor de p ?

Answer 1

Lembre-se, que podemos escrever uma equação de segundo grau a partir de suas raízes, como:
(x - x') * (x - x'') = 0

1)
Vamos considerar as raízes
x' = k
x'' = 3k

(x - x') * (x - x'') = 0
(x - k) * (x - 3k) = 0
x² - 3kx - kx + 3k² = 0
x² - 4kx + 3k² = 0

Como a equação é x² - 2mx + 3 = 0, vamos igualar o coeficientes.

x² - 4kx + 3k² = 0
x² - 2mx + 3 = 0

Assim, teremos:

3k² = 3
k² = 3/3
k = √1
k = 1
Obs: como as raízes são positivas não vamos considerar k = -1

e

-2mx = -4kx
2mx = 4kx
mx = 2kx
m = 2k
m = 2*1
m =2

Portanto, m vale 2.

2)
Vamos considerar as raízes
x' = k
x'' = k²

(x - k) * (x - k²) = 0
x² - k²x - kx + k³ = 0
x² - (k² + k)x + k³ = 0

Como a equação é x² + px + 27 = 0, podemos igualar os coeficientes.

x² - (k² + k)x + k³ = 0
x² +     px     + 27 = 0

Assim, teremos:

k³ = 27
k = ∛27
k = 3

p = -(k² + k)
p = -(3² + 3)
p = -(9 + 3)
p = -12