Question

1) As medidas dos lados de um triângulo são expressas por x² + 10,9x e x-10, nessa ordem, estão em PA. O perímetro do triângulo mede:
a)459
b)452
c)449
d)359
e)352

2)O número de termos da progressão (-20,-14,-8,-2,...,76) é:
a)16
b)17
c)18
d)19
e)20

3) O quintoagézimo primeiro termo de uma P. A., na qual o primeiro é a a1 = 5 e a razão é r = -3,é:
a)155
b)-155
c)-150
d)-145
e)-105

4) Qual é a razão da P.A.,que se obtém inserindo três termos entre 2 e 18?
a) 1
b)2
c)3
d)4
e)5
Alguém me ajuda preciso dos calculos certos

Answer 1

1)

Para que três números (x, y, z) estejam em PA, as diferenças entre dois números sucessivos devem ser iguais entre si, isto é,

$(x,y,z) \rightarrow z-y=y-x$

No presente caso, temos (x - 10, 9x, x² + 10). Portanto, a seguinte relação deve ser válida:

$]x^2 +10 - (9x) = 9x - (x-10)$

Resolvendo, temos

$x^2 +10 - (9x) = 9x - (x-10) \\ x^2 +10 - 9x = 9x - x +10 \\ x^2 -9x -9x +x +10 -10 = 0 \\ x^2 -17x = 0 \\ x(x-17) = 0 \rightarrow x = 0 \ \text{ou} \ x = 17$

Se tivermos x = 0, um dos lados, 9x, será igual a 9(0) = 0, o que é absurdo. Portanto, x = 17 deve ser correto. Substituindo, temos

$\text{PA}(x-10, 9x, x^2 + 10) = ([17]-10,9[17],[17]^2 +10) = \{ 7, 153, 299 \}$

O perímetro 2p do triângulo, pois, é 

$2p = 7 + 153 + 299 = 459$

A alternativa A é correta.

ou... só com os cálculos 

$(x,y,z) \rightarrow z-y=y-x$
$]x^2 +10 - (9x) = 9x - (x-10)$
$x^2 +10 - (9x) = 9x - (x-10) \\ x^2 +10 - 9x = 9x - x +10 \\ x^2 -9x -9x +x +10 -10 = 0 \\ x^2 -17x = 0 \\ x(x-17) = 0 \rightarrow x = 0 \ \text{ou} \ x = 17$

$\text{PA}(x-10, 9x, x^2 + 10) = ([17]-10,9[17],[17]^2 +10) = \{ 7, 153, 299 \}$
$2p = 7 + 153 + 299 = 459$


2)
 O n-ésimo termo de uma PA é dado pela expressão 

$a_n = a_1 +(n-1)\times r$

onde $a_n$ é o n-ésimo termo, $a_1$ é o primeiro termo, e $r$ é a razão. No presente caso, temos $a_1 = -20$, $a_n = 76$ e a razão $r$ é a diferença entre quaisquer dois termos adjacentes, ou seja, $r = -14 - (-20) = 6$ ou $r = -8 - (-14) = 6$. Enfim, o que buscamos é o número n de termos. Substituindo, vem 

$a_n = a_1 + (n-1)r \rightarrow 76 = -20+(n-1)\times 6 \\ 76=-20+6n-6 \\76 = -26 +6n \\ 102 = 6n \\ n = 102/6 = 17$

A alternativa correta é a B. 

ou... só com os cálculos 

$a_n = a_1 +(n-1)\times r$

$a_n = a_1 + (n-1)r \rightarrow 76 = -20+(n-1)\times 6 \\ 76=-20+6n-6 \\76 = -26 +6n \\ 102 = 6n \\ n = 102/6 = 17$

4)

Seja uma PA dada por 

PA(2, x, y, z, 18)

Por se tratar de uma progressão aritmética, o termo y é igual ao termo anterior, x, somado da razão, r, isto é, y = x + r, e o termo z é igual ao termo y somado da razão r, ou seja, z = y + r = (x + r) + r = x + 2r. Portanto, temos

PA(2, x, x + r, x + 2r , 18) = (a1, a2, a3, a4, a5)

A diferença entre dois termos sucessivos deve ser constante, isto é, $a_5 - a_4 = a_4 - a_3$, 

$\text{(I)} : \ 18 - (x+2r) = (x+2r) - (x+r) \rightarrow 18 -x-2r=x+2r-x-r \\ \rightarrow 18 -x-2r = r \rightarrow 18 - 3r = x$

e, além disso, $a_3 - a_2 = a_2 - a_1$

$\text{(II)} : x + r - (x) = x - (2) \\ x+r-x= x-2 \\ r = x -2$

Substituindo r = x -2 em (I), temos 

$18 - 3(x-2) = x \\ 18 - 3x +6 = x \\ 24 = 4x \\ x = 24/4 = 6$

Retornando à equação (II) com x = 6, temos

$r = x -2 = (6) -2= 4$

Com os valores de x e r, podemos estabelecer os termos da PA:

$\text{PA}(2, x, x+r, x+2r, 18) = \text{PA}(2, (6),(6)+(4),(6)+2(4),18)$

$\text{PA}(2, 6, 10, 14, 18)$

A razão da PA é igual a 4. A alternativa D é correta.

Ou... só com os cálculos

PA(2, x, x + r, x + 2r , 18) = (a1, a2, a3, a4, a5)

$a_5 - a_4 = a_4 - a_3$, 

$\text{(I)} : \ 18 - (x+2r) = (x+2r) - (x+r) \rightarrow 18 -x-2r=x+2r-x-r \\ \rightarrow 18 -x-2r = r \rightarrow 18 - 3r = x$

$a_3 - a_2 = a_2 - a_1$

$\text{(II)} : x + r - (x) = x - (2) \\ x+r-x= x-2 \\ r = x -2$

 r = x -2 em (I), temos 

$18 - 3(x-2) = x \\ 18 - 3x +6 = x \\ 24 = 4x \\ x = 24/4 = 6$
Retornando à equação (II) com x = 6, temos

$r = x -2 = (6) -2= 4$

$\text{PA}(2, x, x+r, x+2r, 18) = \text{PA}(2, (6),(6)+(4),(6)+2(4),18)$

$\text{PA}(2, 6, 10, 14, 18)$

3*) 

*Tenho certeza sobre essas três, mas os meus cálculos para a 3 não batem com nenhuma das alternativas...

$a_n = a_1 + (n-1)\times r$

No caso, o primeiro termo é igual a 5, $a_1 = 5$, o número de termos é 50, isto é, $n = 50$, e a razão é $r = -3$. Portanto, substituindo na equação do n-ésimo termo, temos 

$a_{n} = a_1 + (n - 1)\times r \rightarrow a_{50} = 5 + (50 - 1) \times (-3) = -142$