Question

1. As imagens dos números reais pertences ao conjunto A= {x ∈ R| X=k.π SOBRE 3 ; K ∈ Z} são os vértices de um polígono regular no ciclo trigonométrico.

a)como se chama esse polígono ?

b)Obtenha seu perímetro e sua área.

Answer 1

A questão nos traz a seguinte função


X=k.π/3              em que X pertence aos reais e k aos inteiros


Então vamos descobrir os possíveis valor para x

quando k=0 ; X=0.π/3 -> X=0

quando k=1; X=π/3-> X=60º

quando k=2; X=2π/3->X=120º

quando k=3; X=3π/3->X=180º

quando k=4;X=4π/3->X=240º

quando k=5;X=5π/3->X=300º

o K=6 não precisa porque daria 360º que esta no mesmo ponto de 0º

Assim para completar o ciclo trigonométrico precisamos de 6 vértices .

A) Como foram 6 vértices é um hexágono  

B) Agora observe na imagem

    O valor da altura de um dos seis triângulos que forma um hexágono regular é igual a 1 , que seria o valor máximo ou mínimo que um seno pode ter .

Assim teremos :

  A formula para descobrir a altura de um triangulo equilátero é :

$H=\frac{L \sqrt{3}}{2}$
 
Para descobrir o lado (L) vamos substituir:

1=L√3 /2
2=L√3
L=2/√3
racionalizando :
L=2√3/3.

Para descobrir a área , nos vamos descobrir a área de um dos triângulos e multiplicar por 6, assim a formula para descobrir a área é :

$A= \frac{ L^{2}. \sqrt{3} }{4}$

Como o lado foi 2√3/3 ficaria :

A=(2√3/3)^2√3 /4
A=4.3/9.√3/4
A=4/3.√3/4
A=4√3/3/4
A=4√3/12
A=√3/3 que multiplicado por 6 dar a área do hexágono

A=√3/3 . 6
A=2√3