Question

1 - As idades de três pessoas A, B e C, nessa ordem, estão em progressão aritmética. A
soma dessas idades é 27 anos e produto delas vale 585 anos. Determine a diferença
entre a idade da mais velha e a da mais nova.​

Answer 1

A diferença entre a idade da mais velha e a da mais nova é 8 anos.

O termo geral de uma progressão aritmética é definido por aₙ = a₁ + (n - 1).r, sendo:

• a₁ = primeiro termo
• n = quantidade de termos
• r = razão.

Sendo assim, podemos dizer que:

A = a₁

B = a₁ + r

C = a₁ + 2r.

Logo, a progressão aritmética é (a₁, a₁ + r, a₁ + 2r).

De acordo com o enunciado, a soma das três idades é igual a 27. Então:

a₁ + a₁ + r + a₁ + 2r = 27

3a₁ + 3r = 27

a₁ + r = 9.

Além disso, o produto das três idades é igual a 585, ou seja:

a₁.(a₁ + r).(a₁ + 2r) = 585

a₁.9.(a₁ + 2r) = 585

a₁(a₁ + 2r) = 65

a₁² + a₁.2r = 65.

De a₁ + r = 9 podemos dizer que a₁ = 9 - r. Então:

(9 - r)² + (9 - r).2r = 65

81 - 18r + r² + 18r - 2r² = 65

-r² = -16

r² = 16

r = ±4.

Se r = -4, então a₁ = 9 - (-4) = 13. A P.A. é (13, 9, 5).

Se r = 4, então a₁ = 9 - 4 = 5. A P.A. é (5, 9, 13).

Portanto, a diferença entre a idade da mais velha e a da mais nova é 13 - 5 = 8.