Question

1 – As dimensões da figura abaixo estão indicadas em centímetros. Qual são as expressões algébricas

simplificadas que representam as medidas do perímetro e da área total dessa figura, em função da

medida x?

Perímentro = _________________________cm

Área = _________________________cm2

2 – Fatore a expressão algébrica da medida da área total da figura acima e observe que o resultado é um

produto notável do quadrado da soma de dois termos, conforme destacado abaixo.3 – Explicite o valor dos coeficientes a, b e c nas equações de 2º grau abaixo e apresente o conjunto

solução de cada uma das equações dentro do conjunto dos números reais.

a) x2

− 5x = 0

b) x2

− 81 =0

c) x2

− 115 = 54

d) −3x2

− 45x = 3x

4 – Simplifique as expressões algébricas abaixo. Em seguida, classifique a equação obtida como sendo

de 1º ou de 2º grau e encontre suas raízes reais, descrevendo o conjunto solução de cada equação.

a) (x + 1)2

= 1

b) − 2 $

− 2 = 0

c) + 5 $

+ 5 = 32

d) (x − 3) (x + 3) = 7​

Answer 1

Para a questão 1, temos a figura de um quadrado, que é um paralelogramo (figura plana que possui seus lados opostos paralelos). O perímetro de uma figura plana é a soma das medidas de seus lados, enquanto a área de um paralelogramo é a multiplicação das medidas dos seus lados.

Com isso, temos que o perímetro é de (x+3)+(x+3)+(x+3)+(x+3) = 4x + 12, e a área é de (x+3)*(x+3), que é o quadrado da soma (x+3)² em sua forma expandida. Assim, temos que a área do quadrado é x² + 6x + 9.

Para a questão 2, temos que o fatoramento de uma expressão algébrica consiste em escrever uma expressão algébrica em forma de produto.

Como visto na questão 1, a área possui a expressão algébrica x² + 6x + 9. Para fatorarmos uma expressão genérica, devemos agrupar seus elementos. Agrupando x na expressão, temos x(x+6) + 9. Podemos notar que 3 é fator comum de 6 e 9, e podemos colocá-lo em evidência também, obtendo (x+3)*(x+3).

Assim, obtemos que a expressão algébrica fatorada é (x+3)*(x+3), que equivale ao quadrado da soma (x+3)².

Para a questão 3, temos que em uma equação do segundo grau no formato ax² + bx + c, os coeficientes são a, b e c, e o conjunto solução das equações são os valores que tornam a igualdade verdadeira (utilizamos a fórmla de Bhaskara para resolver as equações, substituindo os coeficientes acima na fórmula $raiz_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.

Na equação x² − 5x = 0, temos que os coeficientes são a = 1, b = -5, c = 5, e suas raízes são 0 e 5. Assim, seu conjunto solução é {0, 5}.

Na equação x² − 81 = 0, temos que os coeficientes são a = 1, b = 0, c = 81, e suas raízes são -9 e 9. Assim, seu conjunto solução é {-9, 9}.

Na equação x² − 115 = 54, temos que os coeficientes são a = 1, b = 0, c = -169, e suas raízes são -13 e 13. Assim, seu conjunto solução é {-13, 13}.

Na equação −3x² − 45x = 3x, temos que os coeficientes são a = -3, b = -48, c = 0, e suas raízes são -16 e 0. Assim, seu conjunto solução é {-16, 0}.

Para a questão 4, temos que simplificar as expressões é o ato de rearranjá-las em seu menor formato.

Na expressão (x+1)² = 1, podemos calcular o quadrado da soma (x+1)², obtendo x² + 2x + 1 = 1. Passando o 1 com sinal negativo para o outro lado, obtemos a equação do segundo grau simplificada x² + 2x = 0. Seus coeficientes são a = 1, b = 2, c = 0, e utilizando a fórmula de Bhaskara, descobrimos que suas raízes são -2 e 0, e seu conjunto solução é {-2, 0}.

Na expressão $\frac{(x-2)^2}{x-2} = 0$, podemos expandir o produto da diferenca (x-2)² como (x+2)*(x-2). Assim, obtemos $\frac{(x+2)*(x-2)}{x-2}$, que podemos simplificar (x-2) do numerador e do denominador, obtendo a equação do primeiro grau x - 2 = 0. Seu coeficientes são a = 1, b = 2, sua solução é x = 2, e seu conjunto solução é {2}.

Na expressão $\frac{(x+5)^2}{x+5} = 32$, podemos expandir o produto da soma (x+5)² como (x+5)*(x+5). Assim, obtemos $\frac{(x+5)(x+5)}{x+5} = 32$, que podemos simplificar como sendo a equação do primeiro grau x - 27 = 0. Com isso, temos que seus coeficientes são a = 1, b = -27, sua solução é x = 27, e seu conjunto solução é {27}.

Na expressão (x − 3)*(x + 3) = 7​, podemos aplicar a propriedade distributiva, obtendo x² + 3x - 3x - 9 = 7. Simplificando, obtemos a equação do segundo grau x² = 16. Seus coeficientes são a = 1, b = 0, c = -16, suas raízes são -4 e 4, e seu conjunto solução é {-4, 4}.

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