Question

1. As coordenadas de uma partícula são dadas pelas seguintes equações cartesianas:
x(t)=(t-4)^2 e y(t)=t^2
a) Determine o vetor aceleração da partícula no instante t=4s.
b) Encontre o instante para o qual os vectores velocidade e aceleração são perpendiculares entre si.

Answer 1

Olá!

De acordo com o enunciado, podemos escrever:

$\mathsf{\overrightarrow{\mathsf{r}}(t) = x(t) \, \widehat{i} + y(t) \, \widehat{j}}$

a) Além disso, sabemos que para determinar o vetor aceleração devemos encontrar a DERIVADA segunda do vetor acima. Segue,

$\\ \displaystyle \mathsf{\overrightarrow{\mathsf{r}}(t) = x(t) \, \widehat{i} + y(t) \, \widehat{j}} \\\\ \mathsf{\overrightarrow{\mathsf{v}}(t) = \frac{dx}{dt} \ \widehat{i} + \frac{dy}{dt} \ \widehat{j}} \\\\\\ \mathsf{\overrightarrow{\mathsf{a}}(t) = \frac{d^2x}{dt^2} \ \widehat{i} + \frac{d^2y}{dt^2} \ \widehat{j}}$

 Com efeito,

$\\ \mathsf{\overrightarrow{\mathsf{a}}(t) = \frac{d^2x}{dt^2} \ \widehat{i} + \frac{d^2y}{dt^2} \ \widehat{j}} \\\\ \boxed{\mathsf{\overrightarrow{\mathsf{a}}(t) = 2 \, \widehat{i} + 2 \, \widehat{j}}}$


b) Para determinar o vetor velocidade devemos calcular a derivada primeira do vetor deslocamento r(t).

 Por conseguinte, devemos fazer com que o produto interno entre os vetores velocidade e vetor aceleração resulte em zero, afinal, eles devem ser perpendiculares entre si. Daí, segue que:

$\\ \mathsf{\left ( (2t - 8), 2t \right ) \cdot (2, 2) = 0} \\\\ \mathsf{(2t - 8) \cdot 2 + (2t) \cdot 2 = 0} \\\\ \mathsf{4t - 16 + 4t = 0} \\\\ \mathsf{8t = 16} \\\\ \boxed{\mathsf{t = 2 \ s}}$