Question

1- Aplicando o Teorema do Resto, determine o resto da divisão de: X ^ 19 + X ^ 11 + 7X ^ 4 + 3 por x - 1

2- P(x) é divisível por d(x) Obtenha o valor de m. P(X)= X ^ 5 - 3X ^ 4 + 2X ^ 2 + mx - ed(x) = X - 1

3- Dados os polinômios P(x) = X ^ 2 + ax - 3b e Q(x) = - X ^ 3 + 2ax - b , ambos divisiveis por (X - 1) então a soma de a + be :

4- Um polinomio P(X) de grau maior que 3 quando dividido por X - 2 , X - 3 e X - 5 deixa resto 2, 3 e 5, respectivamente. O resto da divisão de P(x) por (x - 2) .(x-3).(x-5) é:

5- Dividindo-se X ^ 3 - 2X ^ 2 + mx + 4 por X + 2 . obtém-se o quociente X ^ 2 - 4X + 5. Qual é o resto dessa divisão?

Answer 1

1) O resto da divisão é igual a 12.

2) O valor de m é 0.

3) A soma a + b será igual a 8/5.

4) O resto da divisão é x.

5) O resto dessa divisão é -6.

Divisão de polinômios

Na divisão de polinômios, podemos dizer que o dividendo é igual a soma entre o resto e o produto entre o quociente e o divisor:

P(x) = Q(x)·S(x) + R(x)

Pelo teorema de D'Alembert, podemos dizer que o resto da divisão de um polinômio P(x) por um binômio (x - a) será dada por P(a).

• Questão 1

Se temos o divisor dado por x - 1 (a = 1), o resto da divisão será dado por:

R = 1¹⁹ + 1¹¹ + 7·1⁴ + 3

R = 1 + 1 + 7 + 3

R = 12

• Questão 2

Se P(x) é divisível por d(x), o resto da divisão é zero, logo, podemos escrever:

R = P(1) = 0

1⁵ - 3·1⁴ + 2·1² + 1m = 0

1 - 3 + 2 + m = 0

m = 0

• Questão 3

Se ambos são divisíveis por x - 1, teremos que:

R = P(1) = 0

R = Q(1) = 0

1² + a - 3b = 0 → a - 3b = -1

-1³ + 2a - b = 0 → 2a - b = 1

Isolando a na primeira equação e substituindo na segunda:

a = 3b - 1

2·(3b - 1) - b = 1

6b - 2 - b = 1

5b = 3

b = 3/5

a = 3·3/5 - 1

a = 4/5

A soma a + b é igual a 8/5.

• Questão 4

Do enunciado, sabemos que P(2) = 2, P(3) = 3 e P(5) = 5. Se P(x) tem grau maior que 3 e está sendo dividido por uma equação de grau 3, seu resto terá a forma ax² + bx + c, logo:

a·2² + b·2 + c = 2 → 4a + 2b + c = 2

a·3² + b·3 + c = 3 → 9a + 3b + c = 3

a·5² + b·5 + c = 5 → 25a + 5b + c = 5

Resolvendo esse sistema, encontramos: a = 0, b = 1, c = 0. Logo, o resto da divisão é x.

• Questão 5

Pela divisão, teremos que:

x³ - 2x² + mx + 4 = (x + 2)(x² - 4x + 5)

x³ - 2x² + mx + 4 = x³ - 4x² + 5x + 2x² - 8x + 10

x³ - 2x² + mx + 4 = x³ - 2x² - 3x + 10

mx = -3x

m = -3

Como o dividendo é dividido por x + 2, seu resto será dado por:

R = P(-2)

R = (-2)³ - 2·(-2)² - 2·(-3) + 4

R = -6

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