Question

1- Analisando um sistema ortogonal cartesiano, um aluno do terceiro ano observou que, se um ponto P do eixo das abscissas é equidistante dois pontos A(1,4) e B(-6,3), então a abscissa do ponto P vale:
A) -1-√2
B) 1-√2
C)1+√2
D)-1+√2
E)-2

2- um estudante secundarista observou que três pontos de coordenadas, respectivamente, (0,0) , (b,2b) e ( 5b,0), com b>0, são vértices de um retângulo. As coordenadas do quarto vértice são dadas por:
A) (-b,-b)
B) (2b,-b)
C) (4b,-2b)
D) (3b,-2b)
E) ( 2b,-2b).

Por favor me ajuda, estou com muita dificuldade nessas.

Answer 1

1. Vamos considerar que o ponto P é P = (x,y).

Como o ponto P está no eixo das abscissas, então y = 0. Assim, P = (x,0).

De acordo com o enunciado, a distância entre o ponto P e os pontos A = (1,4) e B = (-6,3) são iguais, ou seja,

d(A,P) = d(B,P)

Então,

(x - 1)² + (0 - 4)² = (x + 6)² + (0 - 3)²

x² - 2x + 1 + 16 = x² + 12x + 36 + 9

-2x + 17 = 12x + 45

12x + 2x = 17 - 45

14x = -28

x = -2.

Portanto, a abscissa do ponto P vale -2.

Alternativa correta: letra e).

2) Primeiramente, vamos calcular as distâncias entre os pontos (0,0) e (b,2b), (b,2b) e (5b,0):

d'² = (b - 0)² + (2b - 0)²

d'² = b² + 4b²

d'² = 5b²

d' = b√5

e

d''² = (5b - b)² + (0 - 2b)²

d''² = 16b² + 4b²

d'' = 20b²

d'' = 2b√5

Vamos considerar que o quarto ponto seja (x,y).

Então, a distância entre (x,y) e (0,0) tem que ser igual a 2b√5 e a distância entre (5b,0) e (x,y) tem que ser igual a b√5, ou seja,

(x - 0)² + (y - 0)² = (2b√5)²

x² + y² = 20b²

e

(x - 5b)² + y² = 5b²

ou seja,

x² - 10xb + 25b² + 20b² - x² = 5b²

-10xb = -40b²

x = 4b

Logo,

y² = 20b² - 16b²

y² = 4b²

y = 2b ou y = -2b.

Portanto, as coordenadas do quarto vértice são (4b,-2b).

Alternativa correta: letra c).