Question

1) Ache a primitiva das seguintes funções:

a) f (x) = 2x – 4

Answer 1

Achar a primitiva é equivalente a calcular uma integral indefinida.

Logo, queremos calcular

     $\displaystyle\int (2x-4)\,dx$


Como a função a ser integrada é polinomial, podemos usar diretamente a regra para encontrar primitivas de potências:

     $\displaystyle\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\qquad\textsf{para~~}x\ne -1$


e a integral fica

     $\displaystyle=\int 2x\,dx-\int 4\,dx\\\\\\ =2\cdot \dfrac{x^{1+1}}{1+1}-4x+C\\\\\\ =\diagup\!\!\!\! 2\cdot \dfrac{x^2}{\diagup\!\!\!\! 2}-4x+C$

     $=x^2-4x+C\quad\longleftarrow\quad\mathsf{esta~\acute{e}~a~resposta.}$


onde  C  é uma constante de integração.


Bons estudos! :-)

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a primitiva - antiderivada ou integral indefinida - da referida função é:

 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \int (2x - 4)\,dx = x^{2} - 4x + c\:\:\:}}\end{gathered} }$

Seja a função:

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} f(x) = 2x - 4\end{gathered}$

Para calcular a primitiva da referida função devemos levar em consideração as seguintes propriedades:

• Integral da potência:

              $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + c\end{gathered} }$

• Integral da constante:

           $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \int k\,dx = k\int dx, \:\:\:k\in\mathbb{R}\end{gathered}$

• Integral da soma é igual à soma das integrais:

       $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \int \left[f(x) + g(x)\right]\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx\end{gathered}$

• Primitiva de uma função:

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \int f(x)\,dx = F(x) + c\end{gathered}$

Então, calculando a primitiva da referida função, temos:

       $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \int (2x - 4)\,dx = \int 2x\,dx - \int 4\,dx\end{gathered}$

                                      $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = 2\int x\,dx - 4\int dx\end{gathered}$

                                      $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt = 2\cdot\frac{x^{1 + 1}}{1 + 1} - 4x + c\end{gathered} }$

                                       $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = \frac{2}{2}x^{2} - 4x + c\end{gathered}$

                                       $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = x^{2} - 4x + c\end{gathered}$

✅ Portanto, a primitiva da referida função é:

         $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \int (2x - 4)\,dx = x^{2} - 4x + c\end{gathered}$

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Veja a solução gráfica da questão representada na figura: