1) A temperatura de uma estufa, em graus Celsius, é regulada em função do tempo T, de acordo com a Lei dada por f(t)= -0,5t^2+ 4t+ 10. Determine a temperatura máxima atingida por essa estufa.
2) Na produção de X únidades mensais de um certo produto, uma fábrica tem um custo, em Reais, descrito pela função quadrática, representada parcialmente na figura. O custo mínimo é, em Reais
Me ajudem por favor!!! é pra Daqui a pouco!
Soluções para a tarefa
1) Como o coeficiente de t² é negativo, então esta parábola tem concavidade voltada para baixo. Isto significa que a temperatura é máxima no vértice da parábola. A abscissa do vértice da parábola é dada por:
t_{v\'ertice}=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{-1}=4\Rightarrow
f(t_{v\'ertice})=-0,5\cdot4^2+4\cdot4+10=-8+16+10=18
Portanto, a temperatura máxima na estufa será de 18°.
2) F(x) = ax² + bx + c
pelo gráfico observamos que:
f(0) = 900
f(10) = 700
f(40) = 1300
vamos achar a, b e c na função, fazendo:
f(0) = a. 0² + b . 0 + c ==> f(0) = c ==> c = 900
f(10) = a . 10² + b . 10 + c ==> f(10) = 100a + 10b + 900 ==> 100a + 10b + 900 = 700
100 a + 10b + 200 = 0 ==> 10a + b + 20 ==> b = -10a - 20 (I)
f(40) = a . 40² + b . 40 + 900 ==> f(40) = 1600a + 40b + 900 ==> 1600a + 40b + 900 = 1300
1600a + 40b - 400 = 0 ==> 40a + b - 10 = 0 ==> b = - 40a + 10 (II)
comparando as duas equações (I) e (II):
-10a - 20 = - 40a + 10
30a = 30
a = 1
achando o valor de b:
b = -10a - 20
b = -30
portanto:
f(x) = x² - 30x + 900
para achar o ponto de mínimo M = (xm , ym), fazemos
xm = -b / 2a ==> xm = 30/2 ==> xm = 15
para determinar o custo mínimo fazemos:
ym = - Δ / 4a, onde Δ = b² - 4ac ==> Δ = (-30)² - 4. 1 . 900 ==> Δ = -2700
ym = 2700 / 4
ym = 675
Portanto, o custo mínimo é de R$ 650,00
Observação:
para calcular o custo mínimo, podemos fazer:
f(15) = 15² - 30 . 15 + 900
f(15) = 225 - 450 + 900
f(15) = 675