Question

1) A superfície lateral planificada de um cone circular reto é um setor circular de 120° e área igual a 6π cm². O quociente entre área total do cone e seu volume é numericamente igual a: *

Answer 1

O quociente entre área total do cone e seu volume é numericamente igual a 3.

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A planificação de um cone circular reto é composta de um setor circular, para a lateral, e um círculo para a base.

Para resolver a questão, algumas fórmulas vão nos ajudar:

• Área lateral = πrg
• Área da base = πr²
• Área total = πrg + πr² = πr(g + r)
• Volume = πr²h/3

Vamos encontrar primeiramente o raio da base. Como 120° é a terça parte de 360°, a circunferência do círculo que contém o setor circular é três vezes maior que a circunferência do círculo da base:

3(2πr) = 2πg

6πr = 2πg

3r = g

Usaremos agora a informação dada sobre a área lateral:

Área lateral = πrg

6π cm² = πrg

6 = rg

6 = 3r²

r² = 2

r = √2          e            g = 3√2

Calculando agora a área total:

Área total = πr(g + r) = √2π(3√2 + √2) = 8π

Usando o teorema de Pitágoras para encontrar a altura:

g² = r² + h²

(3√2)² = (√2)² + h²

18 = 2 + h²

16 = h²

h = 4

Encontrando o volume:

Volume = πr²h/3 = π(√2)²4/3 = 8π/3

Por fim, fazendo a razão:

Área total/Volume = 8π/(8π/3) = 3

Logo, o quociente entre área total do cone e seu volume é numericamente igual a 3.

Até mais!