Question

1. A soma dos múltiplos positivos de 8 formados por três algarismos é:

2. Determine a soma dos 70 primeiros pares positivos:

3. Qual o valor de x na P.G. (2x-80, 2x, 2x+400)?

Por favor é urgente pra amanhã!!! :(

Answer 1

Questão 1)

• O primeiro número da sequência é

13 × 8 = 104

• O ultimo número da sequência é

124 × 8 = 992


Então, temos uma sequência

(104, 112, 120, ..., 984, 992)

que é uma progressão aritmética, cujo 1º termo é a₁ = 104, e razão r = 8.

___________

Fórmula do termo geral:

aₙ = a₁ + (n – 1) · r

aₙ = 104 + (n – 1) · 8

aₙ = 104 + 8n – 8

aₙ = 96 + 8n                com n = 1, 2, 3, ..., N


sendo N (maiúsculo) o número de termos desta P.A.

O último termo é

a$_{_N}}$ = 992


Substituindo na fórmula do termo geral, devemos ter

a$_{_N}}$ = 96 + 8N

992 = 96 + 8N

8N = 992 – 96

8N = 896

N = 896/8

N = 112


A soma pedida é a soma dos 112 termos desta P.A.:

          (a₁ + a₁₁₂) · 112
S₁₁₂ = ———————
                    2


          (104 + 9) · 112
S₁₁₂ = ———————
                    2

         
S₁₁₂ = (104 + 9) · 56

S₁₁₂ = 113 · 56

S₁₁₂ = 6328    <———    esta é a resposta

____________

Questão 2)

A sequencia em questão é

(2, 4, 6, ... )

que é uma P.A. cujo primeiro termo é a₁ = 2, e a razão é r = 2.


Termo geral:

aₙ = a₁ + (n – 1) · r

aₙ = 2 + (n – 1) · 2

aₙ = 2 + 2n – 2

aₙ = 2n              com n = 1, 2, 3, ...


Temos que encontrar a posição o termo da posição 70:

a₇₀ = 2 · 70

a₇₀ = 140


A soma pedida é

          (a₁ + a₇₀) · 70
S₇₀ = ———————
                    2


          (2 + 140) · 70
S₇₀ = ———————
                    2
         
S₇₀ = (2 + 140) · 35

S₇₀ = 142 · 35

S₇₀ = 4970   <———    esta é a resposta

____________

Questão 3)

Se a sequência

(2x – 80,  2x,  2x + 400)

forma uma progressão geométrica, então a razão entre dois termos consecutivos é constante (e é igual à razão desta P.G.):

$\dfrac{a_2}{a_1}=\dfrac{a_3}{a_2}\\\\\\ \dfrac{2x}{2x-80}=\dfrac{2x+400}{2x}~~~~~~(x\ne 0~\text{ e }~x\ne 40)\\\\\\ 2x\cdot 2x=(2x-80)\cdot (2x+400)\\\\ 4x^2=4x^2+800x-160x-32\,000\\\\ 32\,000=640x\\\\ x=\dfrac{32\,000}{640}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}x=50 \end{array}}$


Bons estudos! :-)