Question

1) A soma de três (3) primeiros termos de uma PG é igual a seis (6) e a soma do 2°, 3° e do 4° é igual a (-3). Achar a PG

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Estudosa, que a resolução parece simples. 
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Tem-se que a soma dos três primeiros termos de uma PG é igual a "6". E a soma do 2º com o 3º mais o 4º é igual a "-3". Pede-se para encontrar essa PG.

ii) Veja que o termo geral de uma PG é dada da seguinte forma:

a ̪ = a₁*q⁽ⁿ⁻¹⁾  ------- Com isso fica fácil ver que:

a₁ =  a₁
a₂ =  a₁*q¹ = a₁*q
a₃ = a₁*q²
a₄ = a₁*q³
----------------------------------------
---------------------------------------

E assim sucessivamente, culminando com o termo geral, que já vimos que é: 

a ̪  = a₁*q⁽ⁿ⁻¹⁾ .


iii) Bem, visto isso, então vamos à sua questão. Tem-se que a soma dos três primeiros termos é igual a 6. Então teremos isto:

a₁ + a₂ + a₃ = 6 ----- mas como já vimos que a₂ = a₁*q e que a₃ = a₁*q², teremos:

a₁ + a₁*q + a₁*q² = 6 ----- vamos pôr "a₁" em evidência, ficando: 
a₁*(1 + q + q²) = 6          . (I)      


E tem-se também que a soma do 2º, do 3º e do 4º é igual a (-3). então teremos que: 

a₂ + a₃ + a₄ = - 3 ----- substituindo tudo em função de "a₁" teremos:

a₁*q + a₁*q² + a₁*q³ = - 3 ----- vamos pôr "a₁*q" em evidência, ficando: 
a₁*q*(1 + q + q²) = - 3        . (II) 

iii) Agora veja que ficamos com um sistema formado pelas expressões (I) e (II) acima, que são estas:

a₁*(1 + q + q²) = 6            . (I)
a₁*q*(1 + q + q²) = - 3        . (II) 

Agora faremos o seguinte: dividiremos, membro a membro, a expressão (I) pela expressão (II). Com isso ficaremos assim: 

a₁*(1 + q + q²) = 6 ------ [esta é a expressão (I) normal]
a₁*q*(1+q+q²) = -3 ------ [esta é a expressão (II) normal]
--------------------------------- dividindo-se membro a membro, ficaremos com:
a₁*(1+q+q²)/a₁*q*(1+q+q²) = 6/-3 ---- desenvolvendo, ficamos apenas com:
1/q = - 2 ----- multiplicando-se em cruz, teremos:
1 = -2*q 
1 = - 2q ---- multiplicando ambos os membros por "-1" e invertendo, temos:
2q = - 1
q = -1/2 <---- Esta é a razão da PG.


iv) Agora para encontrar o valor do primeiro termo (a₁) iremos em quaisquer uma das expressões [ou na (I) ou na (II)] e, em quaisquer uma delas, substituiremos "q" por "-1/2". Vamos na expressão (I), que é esta: 

a₁*(1+q+q²) = 6 ----- substituindo-se "q" por "-1/2", teremos:
a₁*(1 + (-1/2) + (-1/2)²) = 6 ----- desenvolvendo, temos:
a₁*(1 - 1/2 + 1/4) = 6 ----- note que "1 - 1/2 = 1/2". Logo, colocando-se no lugar de "1-1/2" apenas "1/2", teremos:

a₁*(1/2 + 1/4) = 6  --- veja que 1/2 + 1/4 = (2*1+1*1)/4 = (2+1)/4 = 3/4. Logo:
a₁*(3/4) = 6 ---- ou apenas, o que dá no mesmo:
3a₁/4 = 6 ------ multiplicando-se em cruz, teremos:
3a₁ = 4*6 
3a₁ = 24 ---- isolando "a₁" teremos: 
a₁ = 24/3 
a₁ = 8 <--- Este é o valor do primeiro termo. 

v) Assim, como já temos o valor do primeiro termo e da razão, então agora fica fácil de ver qual é essa PG. A partir do 1º termo vamos multiplicando pela razão e encontraremos o termo seguinte. Veja:


a₁ = 8 
a₂ = 8*(-1/2) = -8/2 = - 4
a₃ = -4*(-1/2) = -4/-2 = 2
a₄ = 2*(-1/2) = -2/2 = - 1

Assim, a PG da sua questão, com os seus primeiros quatro termos,  será esta:

(8;  -4; 2; -1; ........)


Bem, a resposta já está dada. Mas apenas por mera curiosidade, veja como é verdade mesmo que a PG é a que encontramos aí em cima: 

- A soma dos três primeiros termos é igual a "6". Assim:

8 + (-4) + 2 = 6
8 - 4 + 2 = 6
6 = 6 <---- Perfeito. Fechou. 

- A soma do 2º com o 3º e com o 4º é igual a "-3":

-4 + 2 + (-1) = - 3 
-4 + 2 - 1 = - 3
-3 = - 3 <---- Perfeito. Fechou também. 

É isso aí. 
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.