Question

1 - A professora de Lucas passou a seguinte
tarefa para casa.
Qual é a forma fatorada do produto entre os
polinômios x2 + 14x + 49 e x2 - 14x + 49?
Lucas marcou corretamente a resposta:
a) (x + 7).(x-7)
b) (x2 + 14x + 49).(x2 – 14x + 49)
C) (x + 7)(x-7)
d) (x + 7)2.x - 7
e x²+2
2 - Sendo x + 1 = (x + 1) (x2 + ax + b) para​

Answer 1

A forma fatorada do produto entre os polinômios x² + 14x + 49 e x² - 14x + 49 é (x + 7)²(x - 7)²; Os valores de a e b são, respectivamente, -1 e 1.

Completando a segunda questão:

Sendo x³ + 1 = (x + 1)(x² + ax + b) para todo x real, os valores de a e b são, respectivamente:

a) -1 e -1

b) 0 e 0

c) 1 e 1

d) 1 e -1

e) -1 e 1.

Solução

Questão 1)

O quadro da soma de dois números é definido por:

• (a + b)² = a² + 2ab + b².

Perceba que x² + 14x + 49 pode ser escrito como x² + 2.x.7 + 7². Sendo assim, a sua forma fatorada é (x + 7)².

O quadrado da diferença de dois números é definido por:

• (a - b)² = a² - 2ab + b².

A expressão x² - 14x + 49 pode ser escrita da seguinte forma: x² - 2.x.7 + 7². Portanto, a sua forma fatorada é igual a (x - 7)².

Logo, a forma fatorada do produto entre os polinômios citados é (x + 7)²(x - 7)².

Questão 2)

Vamos desenvolver o lado direito da igualdade x³ + 1 = (x + 1)(x² + ax + b). Para isso, podemos utilizar a distributividade:

(x + 1)(x² + ax + b) = x³ + ax² + xb + x² + ax + b

(x + 1)(x² + ax + b) = x³ + x²(a + 1) + x(a + b) + b.

Ou seja, x³ + 1 = x³ + x²(a + 1) + x(a + b) + b. Note que:

{a + 1 = 0

{a + b = 0

{b = 1.

Logo, o valor de a é -1.