Question

1) A integral de ( x² + x ) dx é :

Escolha uma:

( x³/2 ) + ( x²/3 ) + c
( x³/3 ) + ( x²/2 ) + c
( 2x³/3 ) + ( 3x²/2 ) + c
( x³/5) + ( x²/4 ) + c

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2) A área da região compreendida entre a curva f(x) = 3x + 2 e o eixo x; sabendo que x está compreendido entre 1 e 2 inclusive, é :

Escolha uma:
7,5
6,5
7
6

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3) A área da região compreendida entre a curva f(x) = 4x + 1 e o eixo x; sabendo que x está compreendido entre 1 e 3 inclusive, é :

Escolha uma:

18
7
8
11

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Poderíamos me ajudar? Respondi mas queria uma certeza.

Answer 1

A integral da soma é a soma das integrais:

$\boxed{\boxed{\int(f(x)+g(x))dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx}}$

Constantes podem ser retiradas da integral:

$\boxed{\boxed{\int kf(x)dx=k\int f(x)dx}}$
__________________________

1)

$\int(x^{2}+x)dx=\int x^{2}dx+\int xdx\\\\\int(x^{2}+x)dx=\int x^{2}dx+\int x^{1}dx\\\\\int(x^{2}+x)dx=\dfrac{x^{2+1}}{2+1}+\dfrac{x^{1+1}}{1+1}\\\\\\\boxed{\boxed{\int(x^{2}+x)dx=\dfrac{x^{3}}{3}+\dfrac{x^{2}}{2}+C}}$

2)

A área será dada pela integral definida:

$S=\int\limits_{1}^{2}(3x+2)dx\\\\S=\int\limits_{1}^{2}3xdx+\int\limits_{1}^{2}2dx\\\\S=3\int\limits_{1}^{2}x^{1}dx+2\int\limits_{1}^{2}x^{0}dx\\\\S=3\left\dfrac{x^{1+1}}{1+1}\right|_{1}^{2}+2\left\dfrac{x^{0+1}}{0+1}\right|_{1}^{2}\\\\\\S=\left[\dfrac{3x^{2}}{2}+\dfrac{2x}{1}\right]_{1}^{2}\\\\\\S=\left(\dfrac{3\cdot2^{2}}{2}+2\cdot2\right)-\left(\dfrac{3\cdot1^{2}}{2}+2\cdot1\right)\\\\\\S=(6+4)-(\dfrac{3}{2}+2)\\\\\\S=10-\dfrac{3}{2}-2\\\\\\S=8-\dfrac{3}{2}\\\\\\\boxed{\boxed{S=\dfrac{13}{2}=6,5}}$

3)

A área será dada por:

$S=\int\limits_{1}^{3}(4x+1)dx\\\\S=\int\limits_{1}^{3}4xdx+\int\limits_{1}^{3}1dx\\\\S=4\int\limits_{1}^{3}xdx+\int\limits_{1}^{3}x^{0}dx\\\\S=4\left\dfrac{x^{1+1}}{1+1}\right|_{1}^{2}+\left\dfrac{x^{0+1}}{0+1}\right|_{1}^{2}\\\\\\S=[2x^{2}+x]_{1}^{2}\\\\S=(2\cdot2^{2}+2)-(2\cdot1^{2}+1)\\\\S=(8+2)-(2+1)\\\\S=10-3\\\\\\\boxed{\boxed{S=7}}$