Question

1. a) Encontre um número δ tal que |x − 2| < δ, então |4x − 8| < ε, onde ε = 0, 1
b) Repita o item (a) com ε = 0, 01

Answer 1

O exercício mostra uma aplicação da definição de limite, queremos obter δ a partir de ε, e com isso mostrar que δ depende unicamente de ε, numa função 4x com x tendendo à 2. Partimos sabendo que x é tal que

$|4x-8| < \epsilon = 0.1$

$|4x-8| < 0.1$

Por uma propriedade do módulo, dados dois termos a e b,

$|a*b| = |a|*|b|$

Podemos escrever nosso módulo como a seguinte multiplicação,

$|4x-8| = |4*(x-2)| = |4|*|x-2| < 0.1$

$\implies |x-2| < \dfrac{0.1}{4} = 0.025$

Deste modo, δ = 0.025

Na alternativa b, obtemos um resultado semelhante, e ainda mostramos que se diminuirmos o ε, δ também diminui, até o limite em que ambos tendem à zero. Pela anterior obtemos que

$|4x-8| = |4|*|x-2| = 4|x-2|< \epsilon$

$\implies |x-2|<\dfrac{\epsilon}{4} = \delta$

Obtemos a relação entre os dois

$\delta = \dfrac{\epsilon}{4}$

Se ε = 0,01 , então

$\delta = \dfrac{0.01}{4} = 0.0025$