Question

1. a) Determine o valor de M na equação: $x^{4}$ - $2mx^{3}$ + $3x^{2}$ - x + 6 = 0, sabendo que 2 é raiz.

b) A equação $2x^{4}$ - $4x^{3}$ - $26 x^{2}$ + 28x + 48 = 0 admite as raízes -1 e -3. Determine as outras raízes.

Answer 1

Boa noite Celim!

Solução!

Sabendo que 2 e raiz basta substituir na equação para achar o valor de m.


$x^{4}-2m x^{3} +3 x^{2} -x+6=0\\\\\\\ (2)^{4}-2m(2)^{3} +3(2)^{2} -(2)+6=0\\\\\\\ 16-2m.8 +3.4 -2+6=0\\\\\\\ 16-16m +12 -2+6=0\\\\\\\ -16m=-16-12+2-6\\\\\\ -16m=-32\\\\\\ m= \dfrac{-32}{-16}\\\\\\\\ m=2\\\\\\\\\ \boxed {Resposta:~~m=2}$

Para resolver o exercicio b,basta usar o dispositivo pratico de Briot Ruffini

$2 x^{4}-4 x^{3} -26 x^{2} +28x+48=0$

Vamos dividir a equação por dois para ficar mais fácil para calcular.



$2 x^{4}-4 x^{3} -26 x^{2} +28x+48=0:(2)\\\\\\ x^{4}-2 x^{3} -13 x^{2} +14x+24=0$

Sabendo que -1,-3 são raizes,vamos colocar no dispositivo

$-1|~~1|~~-2|-13|~~14|~~|24\\\\\ -3|1~~|-3~~|-10~~|24~~|0\\\\ ~~~~~|1~~|-6~~|~~~~8~~|~~~~0$

Veja que usando as duas raízes,saímos em uma equação do segundo grau. De um expoente dominante 4 conseguimos reduzir para um expoente 2

$x^{2} -6x+8=0\\\\\\ Aplicando~~Bhaskara!\\\\\\ x= \dfrac{-(-6)\pm \sqrt{(-6)^{2} -4.1.8} }{2.1}\\\\\\\ x= \dfrac{6\pm \sqrt{36 -32} }{2}\\\\\\\ x= \dfrac{6\pm \sqrt{4} }{2}\\\\\\\ x= \dfrac{6\pm 2}{2}\\\\\\\ Raizes~~Procurada!\\\\\\ x_{1}= \dfrac{6+2}{2}= \dfrac{8}{2} =4\\\\\\\\ x_{2}= \dfrac{6-2}{2}= \dfrac{4}{2} =2\\\\\\\\\\\\ \boxed{Resposta:~~Raizes~~ x_{2} =2~~x_{1}=4}$

Como o polinômio admite 4 raízes!


$\boxed{S=\{-3,-1,2,4\}}$

Boa noite!
Bons estudos!