Question

1. A área delimitada pelos gráficos de y = −2x 2 − x − 5 e o y = −x 2 − 11x + 19, entre x = 2 e x = 5

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{6~u.~a}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, utilizaremos integrais duplas.

Seja $D$ a região delimitada pelas curvas $f(x)$ e $g(x)$, contínuas em um intervalo fechado $[a,~b]$. Sua área pode ser calculada pela integral dupla: $\displaystyle{\iint_D\,dA$.

O elemento de área deve estar de acordo com o Teorema de Fubini. A ordem de integração leva em conta os limites de cada função, podendo assumir duas formas: $dA=dy\,dx$ e $dA=dx\,dy$.

Lembre-se que a a última variável a ser integrada deve apresentar limites numéricos. Então, como neste caso integraremos em respeito ao eixo das abcissas, consideremos o elemento de área como: $dA=dy\,dx$.

Primeiro, deve-se esboçar o gráfico das funções. Geralmente, os limites de integração compreendem os pontos limitados pelos pontos de intersecção das funções, mas pode ser pedido um intervalo diferente pelo enunciado.

A área desta região, considerando que em todo este intervalo, $f(x)>g(x)$ , é dada por: $\displaystyle{\int_a^b\int_{g(x)}^{f(x)}dy\,dx$.

Sejam as curvas $y=-2x^2-x-5$ e $y=-x^2-11x+19$. Devemos encontrar a área da região compreendida entre estas curvas no intervalo de $x=2$ e $x=5$.

Ao esboçarmos o gráfico destas funções vemos que, neste intervalo, $-x^2-11x+19>-2x^2-x-5$. Dessa forma, a área desta região será calculada pela integral dupla:

$\displaystyle{\int_2^5\int_{-2x^2-x-5}^{-x^2-11x+19}dy\,dx$

Lembre-se que:

• A integral de uma potência é calculada por: $\displaystyle{\int x^{n}\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1},~n\neq -1$.
• A integral definida de uma função, contínua em um intervalo fechado é calculado de acordo com o Teorema fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^bf(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)$, em que $F(x)$ é a antiderivada da função $f(x)$.
• A integral de uma soma de funções é igual a soma das integrais das funções.
• A integral do produto entre uma constante e uma função é dada por: $\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx=a\cdot\int f(x)\,dx$.

Sabendo que $\displaystyle{\int \,dy=\int1\,dy=\int y^0\,dy$, calcule a integral mais interna

$\displaystyle{\int_2^5y~\biggr|_{-2x^2-x-5}^{-x^2-11x+19}\,dx$

Aplique os limites de integração

$\displaystyle{\int_2^5-x^2-11x+19-(-2x^2-x-5)\,dx$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$\displaystyle{\int_2^5-x^2-11x+19+2x^2+x+5\,dx$

Some os termos semelhantes

$\displaystyle{\int_2^5x^2-10x+24\,dx$

Calcule a integral, aplicando a regra da soma e da potência

$\dfrac{x^3}{3}-10\cdot\dfrac{x^2}{2}+24\cdot x~\biggr|_2^5$

Multiplique os valores e aplique os limites de integração

$\dfrac{x^3}{3}-5x^2+24x~\biggr|_2^5\\\\\\\\ \dfrac{5^3}{3}-5\cdot5^2+24\cdot5-\left(\dfrac{2^3}{3}-5\cdot2^2+24\cdot2\right)$

Calcule as potências e multiplique os valores

$\dfrac{125}{3}-5\cdot25+24\cdot5-\left(\dfrac{8}{3}-5\cdot4+24\cdot2\right)\\\\\\\ \dfrac{125}{3}-125+120-\left(\dfrac{8}{3}-20+48\right)$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$\dfrac{125}{3}-125+120-\dfrac{8}{3}+20-48$

Some os valores

$6$

Esta é a área da região compreendida entre estas curvas neste intervalo.