Question

1, 6, 31, 156, 781...

Qual é o 6º termo dessa sequência?

Answer 1

Para achar o padrão devemos analisar quanto que aumenta ou diminui de um número para o outro.

Nessa sequência do primeiro número para o segundo aumenta 5, do segundo pro terceiro 25, e do terceiro pro quarto aumenta 125.

Ou seja, 5 elevado ao número anterior.

Portanto o sexto número será:

781+5^5=3.906

Portanto, o sexto termo dessa sequência é o 3.906

Não estudei sobre esse assunto, mas deve ser P.G de segunda ordem, já que as "razões" tem a razão 5, que vai sendo multiplicada ao longo da sequência.

Answer 2

Queremos encontrar o 6º termo da sequência $\mathsf{(a_n),}$  com $\mathsf{n\in\{1,\,2,\,3,\,\ldots\}:}$

    $\mathsf{(a_n)=(1,\,6,\,31,\,156,\,781,\,\ldots)}$

Definamos uma nova sequência $\mathsf{(b_n)}$  a partir desta primeira, cujos termos são obtidos pela diferença entre termos consecutivos da sequência $\mathsf{(a_n):}$

    $\mathsf{b_n=a_{n+1}-a_n,\qquad com~n\in\{1,\,2,\,3,\,\ldots\}}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad (b_n)=(a_2-a_1,\,a_3-a_2,\,a_4-a_3,\,a_5-a_4\ldots)}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad (b_n)=(6-1,\,31-6,\,156-31,\,781-156,\,\ldots)}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad (b_n)=(5,\,25,\,125,\,625,\,\ldots)}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad (b_n)=(5^1,\,5^2,\,5^3,\,5^4,\,\ldots)}$

Portanto, $\mathsf{(b_n)}$  é uma progressão geométrica de razão q = 5, cuja fórmula do termo geral é

    $\mathsf{b_n=5^n,\qquad com~n\in\{1,\,2,\,3,\,\ldots\}}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad a_{n+1}-a_n=5^n}$

Para n = 5, fica fácil obter o valor do 6º termo. Substituindo acima, obtemos

    $\mathsf{\Longrightarrow\quad a_{5+1}-a_5=5^5}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad a_6-a_5=3125}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad a_6=3125+a_5}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad a_6=3125+781}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad a_6=3906\quad\longleftarrow\quad resposta.}$

Curiosidade: É possível obter a fórmula do termo geral da sequência inicial $\mathsf{(a_n),}$  sem depender sempre do termo anterior. Para isso, vamos escrever as igualdades abaixo:

    $\begin{array}{lcl} \mathsf{a_2-a_1}&\!=\!&\mathsf{5}\\ \mathsf{a_3-a_2}&\!=\!&\mathsf{5^2}\\ \mathsf{a_4-a_3}&\!=\!&\mathsf{5^3}\\ \vdots &&\\ \mathsf{a_{n+1}-a_n}&\!=\!&\mathsf{5^n} \end{array}$

Agora, some todas as igualdades acima, membro a membro. Haverá  vários cancelamentos de termos opostos do lado esquerdo, restando apenas

    $\mathsf{\Longrightarrow\quad -a_1+a_{n+1}=5+5^2+5^3+\ldots+5^n}$

Já do lado direito, temos a soma dos termos de uma P.G., a saber, a soma dos n primeiros termos da sequência $\mathsf{(b_n).}$

Aplicando a fórmula da soma dos termos da P.G. ao lado direito, obtemos

    $\mathsf{\Longleftrightarrow\quad -a_1+a_{n+1}=b_1\cdot \dfrac{q^n-1}{q-1}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad -a_1+a_{n+1}=\dfrac{5\cdot (5^n-1)}{4}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad -a_1+a_{n+1}=\dfrac{5^{n+1}-5}{4}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad a_{n+1}=\dfrac{5^{n+1}-5}{4}+a_1}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad a_{n+1}=\dfrac{5^{n+1}-5}{4}+1}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad a_{n+1}=\dfrac{5^{n+1}-5}{4}+\dfrac{4}{4}}$

    $\mathsf{\Longleftrightarrow\quad a_{n+1}=\dfrac{5^{n+1}-5+4}{4}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad a_{n+1}=\dfrac{5^{n+1}-1}{4}}$

e portanto,

    $\mathsf{\Longleftrightarrow\quad a_n=\dfrac{5^n-1}{4},\qquad com~n\in\{1,\,2,\,3,\,\ldots\}.}$

que nada mais é do que uma P.G. deslocada por uma constante.

Da mesma forma, para n = 6 na fórmula acima, obtemos

    $\mathsf{\Longrightarrow\quad a_6=\dfrac{5^6-1}{4}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad a_6=\dfrac{15625-1}{4}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad a_6=\dfrac{15624}{4}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad a_6=3906\quad\longleftarrow\quad novamente,~a~resposta.}$

Dúvidas? Comente.

Bons estudos! :-)