Question

1+5+9+...+x=378 sabendo q as parcelas do 1 menbro forma uma pa calcule x?

Answer 1

Sabendo que temos a soma de termos de uma P.A no lado esquerdo, somos capazes de encontrar a razão dessa progressão:

$r=a_{n}-a_{n-1}~~para~todo~n\ge2\\\\r=a_{2}-a_{1}~~(para~n=2)\\\\r=5-1\\\\r=4$

Portanto, o n-ésimo termo dessa P.A tem forma

$a_{n}=a_{1}+(n-1)r=1+(n-1)\cdot4=1+4n-4\\\\\therefore~~\boxed{\boxed{a_{n}=4n-3}}$
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Suponha que temos a soma dos n primeiros termos da P.A no lado esquerdo. Então:

$S_{n}=a_{1}+...+a_{n}=1+5+9+...+x=378$

e estamos interessados em encontrar $a_{n}=x$

Utilizando a fórmula da soma dos n primeiros termos da P.A:

$S_{n}=378\\\\(a_{1}+a_{n})\cdot\dfrac{n}{2}=378~\Leftrightarrow~n\cdot(a_{1}+a_{n})=2\cdot378=756$

Substituindo $a_{1}$ e $a_{n}$ na igualdade:

$n\cdot(1+4n-3)=2\cdot378\\\\n\cdot(4n-2)=2\cdot378\\\\n\cdot2\cdot(2n-1)=2\cdot378\\\\n\cdot(2n-1)=378\\\\2n^{2}-n=378\\\\2n^{2}-n-378=0$

Procuramos uma solução natural dessa equação.

$\Delta=b^{2}-4ac=(-1)^{2}-4\cdot2\cdot(-378)=1+3024=3025\\\\\\n=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-(-1)\pm\sqrt{3025}}{2\cdot2}=\dfrac{1\pm55}{4}~\begin{cases}n=14\\n=-\frac{27}{2}\end{cases}$

A solução não natural é descartada, portanto temos que $n=14$ soluciona a equação (portanto $S_{14}=1+5+...+x=378$)

Daí, temos que $x=a_{14}$, logo, podemos encontrar $x$:

$x=a_{14}\\\\x=4\cdot14-3\\\\x=56-3\\\\\boxed{\boxed{x=53}}$