Question

1 + 5 + 9 + ... + (4n-3) = n (2n-1) (Prove por indução que vale para todo inteiro positivo n)

Answer 1

Temos que mostrar que isso vale para qualquer n ≥ 1

Verificando se vale para n = 1:

$1=1\cdot(2\cdot1-1)=1\cdot(2-1)=1\cdot1=1~~~(vale~para~1)$

Assumindo, por hipótese de indução, que vale para n = k:

$1+5+9+...+(4k-3)=k\cdot(2k-1)=2k^{2}-k$

Verificaremos se vale para n = k + 1. Ou seja, se n = k + 1, então

$1+...+(4\cdot[k+1]-3)=(k+1)\cdot(2[k+1]-1)=2k^{2}+3k+1$
__________________________________

Pela hipótese de indução, sabemos que

$1+...+(4k-3)=k\cdot(2k-1)=2k^{2}-k$

Somando 4(k + 1) - 3 aos dois lados da igualdade:

$1+...+(4k-3)+(4[k+1]-3)=(2k^{2}-k)+4[k+1]-3\\\\1+...+(4k-3)+(4[k+1]-3)=2k^{2}-k+4k+4-3\\\\1+...+(4[k+1]-3)=2k^{2}+3k+1$

Ou seja, é válido para n = k + 1

Portanto, por indução matemática, a expressão é valida para qualquer n ≥ 1