Question

1/2^x = √4^3 obs: o 3 é raiz de 4

Answer 1

Quando tiveres indeterminações 0/0 em limites com raízes,utiliza mudanças de variável para passares a polinómios que podem ser factorizados. 

Neste caso a mudança de variável será y=raiz quarta de x 
Vou utilizar notações com expoentes racionais por facilidade de escrita. 

lim [x^(1/4)-2^(1/4)]/(x-2) 
x→2 

Fazendo y=x^(1/4) 
y^4=x 
e como x→2 , y→2^(1/4) 

Substituindo no limite : 

lim [y-2^(1/4)]/[y^4-2] 
y→2^(1/4) 

E agora basta factorizar o polinómio y^4-2,baixando o grau com a raiz 
2^(1/4) 
Pode ser feito por vários processos,o mais simples dos quais é recorrer à regra de Ruffini. 

. . . . . 1 . . 0 . . . . 0 . . . . 0 . . -2 

2^(1/4) . .2^(1/4) 2^(1/2) 2^(3/4) .2 
___________________________ 
Q = . 1 .2^(1/4) 2^(1/2) 2^(3/4) | 0 = R 

y^4-2= 
=[y-2^(1/4)][y³+2^(1/4)y²+2^(1/2)y+2^(... 

lim [y-2^(1/4)]/[y-2^(1/4)][y³+2^(1/4)y²+2^(... 
y→2^(1/4) 

lim 1/[y³+2^(1/4)y²+2^(1/2)y+2^(3/4)] 
y→2^(1/4) 

1/[2^(3/4)+2^(1/4)2^(2/4)+2^(1/2)2^(1/... 

=1/[4.2^(3/4)] 

Observação: 

Se tiveres mais que uma raiz,de índice diferente,a mudança de variável terá que ser feita com o mmc dos índices 

Exemplo : 
lim (√x - 8)/(³√x - 4) 
x→64 

Neste caso a mudança de variável seria y^6=x 
porque mmc(2,3)=6