Question

1.2. A derivada da função
a- f'(0) = 3/2
b- f'(0) = 7
c- f'(0) = 1/3
d- f'(0) = 1/4
e- f'(0) = 0

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre o cálculo de derivadas.

Devemos calcular a derivada da seguinte função: $f(x)=\sqrt[3]{x^2+e^{3x}+7}$ no ponto $x=0$.

Diferenciamos ambos os lados da igualdade em respeito à variável $x$

$(f(x))'=(\sqrt[3]{x^2+e^{3x}+7})'$

Para calcular esta derivada, lembre-se que:

• A derivada de uma função composta é calculada pela regra da cadeia: $(g(h(x)))'=h'(x)\cdot g'(h(x))$.

• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• A raiz enésima de uma função pode ser reescrita como uma potência fracionária: $\sqrt[n]{x^m}=x^{\frac{m}{n}}$.

• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções: $(g(x)\pm h(x))'=g'(x)\pm h'(x)$.
• A derivada de uma constante é igual a zero.

Assim, aplique a regra da cadeia e da potência

$f'(x)=(x^2+e^{3x}+7)'\cdot\dfrac{1}{3}\cdot(x^2+e^{3x}+7)^{\frac{1}{3}-1}$

Aplique a regra da soma e some os termos no expoente

$f'(x)=((x^2)'+(e^{3x})'+(7)')\cdot\dfrac{1}{3}\cdot(x^2+e^{3x}+7)^{-\frac{2}{3}}$

Aplique a propriedade de potências negativas: $x^{-n}=\dfrac{1}{x^n},~x\neq0$ e reescreva o radical. Aplique a regra da potência, da cadeia e da constante.

$f'(x)=(2\cdot x^{2-1}+(3x)'\cdot e^{3x}+0)\cdot\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{(x^2+e^{3x}+7)^{\frac{2}{3}}}\\\\\\ f'(x)=(2\cdot x^{2-1}+3\cdot 1\cdot x^{1-1}\cdot e^{3x}+0)\cdot\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{\sqrt[3]{(x^2+e^{3x}+7)^2}}\\\\\\ f'(x)=\dfrac{2x+3e^{3x}}{3\sqrt[3]{(x^2+e^{3x}+7)^2}}$

Então, calculamos seu valor no ponto $x=0$:

$f'(0)=\dfrac{2\cdot0+3e^{3\cdot0}}{3\sqrt[3]{(0^2+e^{3\cdot0}+7)^2}}$

Multiplique os termos e calcule as potências, sabendo que $x^0=1,~x\neq0$.

$f'(0)=\dfrac{0+3e^{0}}{3\sqrt[3]{(0+e^{0}+7)^2}}\\\\\\ f'(0)=\dfrac{3\cdot1}{3\sqrt[3]{(0+1+7)^2}}$

Multiplique e some os valores no radical e calcule a potência

$f'(0)=\dfrac{3}{3\sqrt[3]{8^2}}\\\\\\ f'(0)=\dfrac{3}{3\sqrt[3]{64}}$

Calcule o radical, sabendo que $\sqrt[3]{64}=4$ e simplifique a fração

$f'(0)=\dfrac{3}{3\cdot 4}\\\\\\ f'(0)=\dfrac{1}{4}$

Esta é o valor da derivada desta função neste ponto e é a resposta contida na letra d).