Question

1) (2,5 pontos) Considere a função de LaTeX: \mathbb{R}ℝ em LaTeX: \mathbb{R}ℝ dada por LaTeX: f(x)=(m^2-4)x+12f(x)=(m2−4)x+12. Analise o crescimento/ decrescimento de LaTeX: ff em função do parâmetro real LaTeX: mm. 2) (2,5 pontos) A função LaTeX: f(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+c tem vértice no ponto LaTeX: (2,6)(2,6) e uma raiz no ponto LaTeX: x=5x=5. Determine a expressão de LaTeX: ff (ou, em outras palavras, determine os valores dos coeficientes LaTeX: a\text{, }b\text{ e }c)

Answer 1

Olá

1) Temos que $f(x) = (m^{2}-4)x+12$, que é uma função afim, pois é da forma f(x) = ax + b.

Para analisarmos o crescimento e decrescimento de uma função, analisaremos o coeficiente angular "a".

Quando a > 0, a função é crescente.

Quando a < 0, a função é decrescente.

Portanto, teremos:

(1) $m^{2}-4 \ \textgreater \ 0$ ↔ m < -2 ou m > 2

(2) $m^{2}-4 \ \textless \ 0$ ↔ -2 < m < 2

Logo, a função f será crescente se vale (1) e será decrescente se valer (2).

2) O vértice de uma parábola é definido da seguinte forma:

$x_v = - \frac{b}{2a}$ e $y_v = - \frac{(b^{2} -4ac)}{4a}$

Como $x_v = 2$ então temos que:

$2 = - \frac{b}{2a}$
$-b = 4a$
$b = -4a$

Temos que (5,0) pertencem à parábola. Daí, temos que:

$(5)^{2}a+5b+c=0$
25a + 5b + c = 0

Como b = -4a, então

25a + 5(-4a) + c = 0
25a - 20a + c = 0
5a + c = 0
c = -5a

O ponto (2,6) também faz parte da parábola. E como b = -4a e c = -5a, temos que:

$(2)^{2}a + 2b + c = 6$
4a + 2(-4a) - 5a = 6
-a - 8a = 6
-9a = 6
$a = - \frac{2}{3}$

Portanto, $b = -4. \frac{-2}{3} = \frac{8}{3}$ e $c = -5. \frac{-2}{3} = \frac{10}{3}$

A função é :

$f(x) = \frac{-2x^{2}+8x+10}{3}$