Question

1. [2,0] Uma equação bastante utilizada é a equação da onda, dada por fu(x, t) = c² far(x, t). Ela descreve fenómenos como ondas do mar, ondas sonoras e ondas em uma corda. Mostre que a função f(x, t) = sen(x - ct) satisfaz a equação da onda.​

Answer 1

Dos devidos cálculos realizados, chegamos à conclusão de que a função u(x, t) = sin(x - ct) satisfaz a equação de onda.

A Equação de Onda é uma EDP que descreve a altura u(x,t) de cada ponto com coordenada $\color{RoyalBlue}{x}$, ao longo de uma corda vibrante de comprimento L, no instante ${\color{magenta}{t}}$. Por isso, é um caso unidimensional de uma equação de onda, e pertence à classe de problemas de valor de contorno homogêneo, que têm a seguinte forma::

$\boxed{ c^2\dfrac{\partial ^2 u}{\partial \color{RoyalBlue}{x}^2} =\dfrac{\partial^2 u}{\partial\color{magenta}{t}^2}}$

Não queremos encontrar nenhuma solução da equação de onda, queremos apenas provar que a seguinte função u(x,t)=sin(x - ct) satisfaz a equação, de modo que a função satisfaz a equação de onda derivadas parciais ao quadrado em relação ao tempo devem ser iguais à constante de velocidade da luz ao quadrado (c) vezes a derivada parcial ao quadrado da função em relação ao comprimento. Parece simples, pois só temos que fazer as derivadas parciais.

Substituindo nossa função na equação de onda, obtemos a seguinte expressão:

$c^2 \cdot\dfrac{\partial ^2 \sin{(x-ct)}}{\partial x^2} = \dfrac{\partial ^2 \sin{(x-ct)}}{\partial t^2} \\\\ c^2\cdot \dfrac{\partial }{\partial x} \left(\dfrac{\partial }{\partial x}\sin{(x-ct)}\right)=\dfrac{\partial}{\partial t}\left(\dfrac{\partial}{\partial t}\sin(x-ct) \right)$

Para encontrar a solução dessas derivadas parciais vamos ter que aplicar a regra da cadeia, com a regra da cadeia podemos traduzir essa derivada parcial que parece muito complexa como a seguinte expressão: $\dfrac{\partial f(u)}{\partial x}=\dfrac{\partial f}{\partial u}\cdot \dfrac{\partial u}{\partial x}$

O que vamos fazer com esta regra é substituir a expressão que está dentro do seno e substituí-la por uma variável chamada u e além disso é multiplicada pela derivada parcial que está dentro do seno.

$c^2\cdot \dfrac{\partial }{\partial x} \left(\dfrac{\partial }{\partial u}\sin{(u})\cdot \dfrac{\partial}{\partial x} x - ct \right)=\dfrac{\partial}{\partial t}\left(\dfrac{\partial}{\partial u}\sin(u)\cdot \dfrac{\partial}{\partial t} x - ct \right),~com~u=c-xt\\\\ c^2\cdot \dfrac{\partial }{\partial x} \left(\cos{(u})\cdot 1 \right)=\dfrac{\partial}{\partial t}\left(\\cos(u)\cdot -c\right)\\\\ c^2\cdot \dfrac{\partial }{\partial x} \left(\cos{(x-ct)}\right)=\dfrac{\partial}{\partial t}\left(-c\cos{(x-ct)}\right)$

Fazendo a segunda derivada parcial usando o mesmo método:

$c^2\cdot \dfrac{\partial }{\partial u} \cos{(u)}\cdot \dfrac{\partial }{\partial x} x-ct=-c\dfrac{\partial}{\partial u}\cos{(u)}\cdot \dfrac{\partial}{\partial t}x - ct \\ \\ -c^2\sin{(u)}=-c^2\sin{(u)}\\\\ \boxed{\ -c^2\sin{(x-ct)}=-c^2\sin{(x-ct)}}\qquad~\texttt{OK!!}$