Question

1) (2,0 pontos) Calcule os valores indicados:

a) LaTeX: \text{log}_{8}512log8512



b) LaTeX: \text{log}_{8}\frac{1}{16}log8116



c) LaTeX: \text{log}_{0,1}1000log0,11000



d) LaTeX: \text{log}_{0,1}0,01

Answer 1

Olá

Vamos lembrar da definição de logaritmo:

$log_{a}b = x$ ⇔ $a^{x} = b$

a) $log_{8} 512$

Primeiro devemos igualar o logaritmo a x:

$log_{8}512 = x$

Utilizando a definição, temos que: 

$8^{x} = 512$

Temos que colocar todos na mesma base. Sabemos que $8 = 2^{3}$ e $512 = 2^{9}$. Então,

$(2^{3})^{x} = 2^{9}$
$2^{3x} = 2^{9}$

Como temos a mesma base, podemos trabalhar com os  expoentes:

3x = 9
x = 3

Logo, $log_{8}512 = 3$

b) $log_{8} \frac{1}{16}$

Utilizando o mesmo raciocínio:

$log_{8} \frac{1}{16} = x$
$8^{x} = \frac{1}{16}$
$2^{3x} = 2^{-4}$
3x = -4
$x = \frac{-4}{3}$

Logo, $log_{8} \frac{1}{16} = - \frac{4}{3}$

Observação: $\frac{1}{16} = 16^{-1}$. Como $2^{4} = 16$ então $\frac{1}{16} = 2^{-4}$

c) $log_{0,1}1000$

$log_{0,1}1000 = x$
$0,1^{x} = 1000$
$(\frac{1}{10})^{x} = 1000$
$10^{-x} = 10^{3}$
-x = 3
x = -3

Logo, $log_{0,1}1000 = -3$

d) $log_{0,1}0,01$

$log_{0,1}0,01 = x$
$0,1^{x} = 0,01$
$( \frac{1}{10})^{x} = \frac{1}{100}$
$( \frac{1}{10})^{x} = ( \frac{1}{10})^{2}$
x = 2

Logo, $log_{0,1}0,01 = 2$