Question

1.1 - justifique que os pontos A e B têm abcissas -30 e 30.
1.2 - justifique que os 2 postes têm a mesma altura
1.3 - mostre que f´(x) = 0,4 ((e^0,02x) - (e^-0,02x)) é uma expressao da derivada da funçao f e estude f quanto à monotonia.
...

Answer 1

1.3 Vamos igualar 41 à f(x).

$41 = 20.(e^{0.02x} + e ^{ - 0.02x}) \\ \\ 2.05 = ((e^{0.02x}) + (e ^{ 0.02x})^{ - 1} ) \\ \\2.05 = (a + {a}^{ - 1} ) \\ \\ 2.05 = \frac{a^{2} + 1}{a} \\ \\ a^{2} - 2.05a + 1 = 0 \\ \\ a1 = 1.25 \\ a2 = 0.8 \\ \\ e^{0.02x} = 1.25 \\ ln( e^{0.02x}) = ln(1.25) \\ \\ x1 = \frac{ln(1.25)}{0.02} = 11.16 \\ \\ x2 = \frac{ln(0.8)}{0.02} = - 11.16$

Logo, PQ é o dobro de x1. PQ = 22,32 metros, aproximadamente.

1.4 Derivando a função:

$f(x)= 20.(e^{0.02x} + e^{ - 0.02x}) \\ \\ d(f(x)) = 20.(0.02.e^{0.02x} - 0.02.e ^{ - 0.02x} ) \\ \\ d(f(x)) = 0.4.(e^{0.02x} - e ^{ - 0.02x})$

Para estudar a monotonia:

1. Iguale a derivada a 0.
2. Estude o sinal da função.

$0.4(e^{0.02x} - e^{ - 0.02x}) = 0 \\ \\ e^{0.02x} - e^{ - 0.02x} = 0 \\ \\ a^{2} - 1 = 0 \\ \\ a1 = 1 \\ a2 = - 1 \\ \\ e^{ 0.02x} = 1 \\ x = 0$

Ou seja, em x = 0 temos um ponto de máximo ou mínimo. Para descobrir qual tipo ele é, basta ver o sinal da equação,

$e ^{0.02x} = 1$

Para x < 0 e para x > 0.

1. Para x < 0, a função tem sinal negativo. (-)
2. Para x > 0, a função tem sinal positivo. (+)

Consequentemente, x = 0 é um ponto de mínimo e a função é decrescente de:

$(- \infty .0)$

E crescente de:

$(0. + \infty )$

1.5. Se o ponto x = 0 é o ponto de mínimo global, então a menor distância ao solo será f(0).

$f(0) = 20.(e^{0.02.0} + e^{ - 0.02.0} ) = 20.(1 + 1) = 20.2 = 40$

A menor distância é 40 metros.