1.1 Classifique os itens a seguir em grandezas diretamente proporcionais ou inversamente pro- porcionais e justifique sua resposta. a) A medida do lado de um quadrado e o seu perímetro. b) O tempo que um automóvel leva para percorrer uma certa distância e sua velocidade média. c) A quantidade de funcionários de uma fábrica e o número de produtos fabricados. d) A distância percorrida por um veículo e a quantidade de combustível usado. e) Quantidade de trabalhadores e a construção de um muro, sendo mantido o mesmo ritmo de trabalho. 1.2 Veja a tabela que descreve o mesmo percurso realizado por três meios de transporte diferentes. Velocidade (Km/h) Tempo (minutos) Patinete 20 160 Moto 40 80 Carro 80 40 As grandezas presentes nesta tabela são diretamente ou inversamente proporcionais? Jus- tifique sua resposta. 1. 3 Agora, observe na tabela como estão associados o valor e a quantidade de um determina- do produto, e depois responda: Valor (R$) 210,00 420,00 840,00 1680,00 Quantidade do produto 3 6 12 24 a) Como pode-se observar, o valor a ser pago é diretamente proporcional à quantidade de produtos. Por que? b) Escreva uma sentença algébrica que relacione o valor a ser pago e a quantidade de produtos. Matemática 69 c) Quanto uma pessoa irá pagar caso ela compre 18 unidades desse produto? d) Encontre a quantidade de produtos que uma pessoa poderá adquirir ao pagar R$ 3. 360,00. e) Qual será o valor de 1 produto? Explique como resolver essa questão. 1.4 O funcionário de uma empresa irá encher um tanque de 200 cm de altura com água. Para isso, fará uso de uma torneira cuja vazão constante obedece a expressão A = 5t, em que A representa a altura da água dentro do tanque e t os minutos que a água leva para atingir esta altura. Junto com um colega de turma, construam o gráfico que relacione as duas grandezas. Analisem os resultados obtidos por vocês e respondam se essas grandezas são direta ou inversamente proporcionais. 1.5 Elabore três problemas, seguindo as orientações a seguir: a) Um problema que envolva duas grandezas diretamente proporcionais; b) Um problema que envolva duas grandezas inversamente proporcionais; c) Um problema que envolva duas grandezas, mas que não haja proporcionalidade. 1.6 A área de um retângulo é de 36 cm2. A tabela abaixo nos mostra algumas possibilidades de se obter tal área relacionando a medida do comprimento e da largura. Comprimento Largura 18 2 12 3 9 4 6 6 a) Escreva a sentença algébrica que relaciona o comprimento (c) e a largura (x), em centí- metros. b) A medida do comprimento e da largura desses retângulos são diretamente proporcio- nais, inversamente proporcionais ou não há proporcionalidade? Justifique sua resposta.
Soluções para a tarefa
Vou responder apenas a primeira questao e apresentar a teoria a respeito de grandezas diretamente e inversamente proporcionais. Com isso em maos, voce conseguira desenvolver as outras questoes.
Grandezas diretamente proporcionais sao grandezas nas quais o aumento de uma causa o aumento de outra, dada uma certa proporcao.
Grandezas inversamente propocionais sao grandezas nas quais o aumento de uma provoca a diminuicao de outra, dada tambem uma certa proporcao.
Formatando de uma maneira melhor a primeira e a segunda questao, usando paragrafos, temos:
1.1. Classifique os itens a seguir em grandezas diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais e justifique sua resposta.
a) A medida do lado de um quadrado e o seu perímetro.
Resposta: O aumento da medida do lado de um quadrado causa o aumento do perimetro, ou seja sao grandezas diretamente proporcionais.
b) O tempo que um automóvel leva para percorrer uma certa distância e sua velocidade média.
Resposta: Conforme a velocidade do carro aumenta, diminui o tempo para percorrer certa distancia, ou seja, sao grandezas inversamente proporcionais.
c) A quantidade de funcionários de uma fábrica e o número de produtos fabricados.
Resposta: quanto mais funcionarios se tem numa fabrica, maior a capacidade de producao, ou maior o numero de produtos fabricados, ou seja, sao grandezas diretamente proporcionais.
d) A distância percorrida por um veículo e a quantidade de combustível usado.
Resposta: quanto maior a distancia percorrida por um automovel, maior sera o gasto de combustivel, portanto essas duas grandezas sao diretamente proporcionais.
e) Quantidade de trabalhadores e a construção de um muro, sendo mantido o mesmo ritmo de trabalho.
Resposta: sendo mantida o mesmo ritmo de trabalho de cada um dos trabalhadores, quanto maior a quantidade deles, maior sera a quantidade de muro construida, pois ha uma maior disponibilidade de mao de obra, portanto sao grandezas diretamente proporcionais.
Resposta:
1.1 Classifique os itens a seguir em grandezas diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais e justifique sua resposta.
a) A medida do lado de um quadrado e o seu perímetro.
Resolução:
Diretamente proporcionais, porque quando aumenta o lado do quadrado, seu perímetro aumenta na mesma proporção, pois a cada 1 unidade de aumento no lado do quadrado, seu perímetro aumenta em 4 unidades.
b) O tempo que um automóvel leva para percorrer uma certa distância e sua velocidade média.
Resolução:
Inversamente proporcionais, pois quanto maior a velocidade média, o tempo de percurso será proporcionalmente menor.
c) A quantidade de funcionários de uma fábrica e o número de produtos fabricados.
Resolução:
Diretamente proporcionais, pois quanto mais funcionários, a produtividade é proporcionalmente maior, considerando que todos trabalhem no mesmo ritmo.
d) A distância percorrida por um veículo e a quantidade de combustível usado.
Resolução:
Diretamente proporcionais, pois quanto maior a distância, o consumo de combustível será proporcionalmente maior.
e) Quantidade de trabalhadores e a construção de um muro, sendo mantido o mesmo ritmo de trabalho.
Resolução:
Inversamente proporcionais, pois quanto maior a quantidade de trabalhadores, o tempo para a construção de um muro será proporcionalmente menor.
1.2 Veja a tabela que descreve o mesmo percurso realizado por três meios de transporte diferentes.
Velocidade (Km/h)
Tempo (minutos)
Patinete
20
160
Moto
40
80
Carro
80
40
As grandezas presentes nesta tabela são diretamente ou inversamente proporcionais? Justifique sua resposta.
Resolução:
São inversamente proporcionais. Ao duplicar a velocidade, o tempo é reduzido pela metade.
1.3 Agora, observe na tabela como estão associados o valor e a quantidade de um determinado produto, e depois responda:
Valor (R$)
210,00
420,00
840,00
1680,00
Quantidade do produto
3
6
12
24
a) Como pode-se observar, o valor a ser pago é diretamente proporcional à quantidade de produtos. Por quê?
Resolução:
Porque ao dobrar a quantidade de produtos, o valor a ser pago também dobra.
b) Escreva uma sentença algébrica que relacione o valor a ser pago e a quantidade de produtos.
Resolução:
P = 70n, onde P representa o valor pago e n representa a quantidade de produtos.
c) Quanto uma pessoa irá pagar caso ela compre 18 unidades desse produto?
Resolução:
Fazendo uso da expressão escrita no item anterior, temos:
P = 70n
P = 70 . 18
P = 1 260
Logo, caso essa pessoa compre as 18 unidades, ela irá pagar R$ 1 260,00.
d) Encontre a quantidade de produtos que uma pessoa poderá adquirir ao pagar R$ 3 360,00.
Resolução:
Ainda fazendo uso da expressão algébrica, temos:
P = 70n =336070 n = 48
Logo, a quantidade de produtos comprados com R$ 3 360,00 é de 48 unidades.
e) Qual será o valor de 1 produto? Explique como resolver essa questão.
Resolução:
Substituindo o valor de n por 1, temos:
P = 70n P = 70 . 1 P = 70
Um produto custará R$ 70,00.
1.4 O funcionário de uma empresa irá encher um tanque de 200 cm de altura com água. Para isso, fará uso de uma torneira cuja vazão constante obedece à expressão A = 5t, em que A representa a altura da água dentro do tanque e t os minutos que a água leva para atingir esta altura. Junto com um colega de turma, construa o gráfico que relacione as duas grandezas. Analisem os resultados obtidos por vocês e respondam se essas grandezas são direta ou inversamente proporcionais.
Resolução:
Substituindo alguns valores na expressão dada A = 5t, obtemos:
Tempo (minutos)
Altura (centímetros)
10
50
20
100
30
150
40
200
É possível observar que quanto maior o tempo, a altura aumenta proporcionalmente.
1.5 Elabore três problemas, seguindo as orientações a seguir:
Todas as respostas são pessoais, porém os exemplos trabalhados anteriormente podem servir de apoio para a elaboração dos problemas. Planeje um momento para compartilharem as produções.
a) Um problema que envolva duas grandezas diretamente proporcionais.
b) Um problema que envolva duas grandezas inversamente proporcionais.
c) Um problema que envolva duas grandezas, mas que não haja proporcionalidade.
1.6 A área de um retângulo é de 36 cm². A tabela abaixo nos mostra algumas possibilidades de se obter tal área relacionando a medida do comprimento e da largura.
Comprimento
Largura
18
2
12
3
9
4
6
6
a) Escreva a sentença algébrica que relaciona o comprimento (C) e a largura (x), em centímetros.
Resolução:
C = 36/, sendo C o comprimento e x a largura.
Este é o momento para ampliar essa discussão e verificar as variações possíveis de uma expressão algébrica. A partir da expressão da área, é possível discutir suas variações: = . = / = /
Observe que qualquer uma delas poderá atender a proposta da atividade.
b) A medida do comprimento e da largura desses retângulos são diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou não há proporcionalidade? Justifique sua resposta.
Resolução:
Inversamente proporcionais. Uma possível resposta: observa-se que ao diminuir a medida do comprimento, a medida da largura aumenta.