Question

(1 - 1/2²) * (1 - 1/3²) * (1 - 1/4²) * ... * (1 - 1/2015²) Qual é o valor desse produto? (Era uma das questões do curso de pré-cálculo). Sei que os parenteses são na verdade produtos notáveis do caso de (a²-b²) = (a + b ) * (a - b) mas eu não consegui achar o termo para colocar em evidência.

Answer 1

Boa noite!

Fazendo uma simplificação com 4 termos iniciais para entender a ideia da sequência:
$\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\cdot\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\cdot\left(1-\frac{1}{4^2}\right)\cdot\left(1-\frac{1}{5^2}\right)\\\left(1-\frac{1}{2}\right)\cdot\left(1+\frac{1}{2}\right)\cdot\left(1-\frac{1}{3}\right)\cdot\left(1+\frac{1}{3}\right)\cdot\left(1-\frac{1}{4}\right)\cdot\left(1+\frac{1}{4}\right)\cdot\left(1-\frac{1}{5}\right)\cdot\left(1+\frac{1}{5}\right)\\\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{4}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{6}{5}\\\frac{1}{2}\cdot\frac{6}{5}=\frac{3}{5}$

Seguindo essa ideia, veja que ficou somente a primeira fração e a última, então:
$\frac{1}{2}\cdot\frac{2016}{2015}=\frac{1008}{2015}$

Espero ter ajudado!