Question

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09. Considere sen ø= 1/√5, sen a = 1/√10, 0< ∅, a < π/2. Calcule o valor da tg (∅ + a)
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Answer 1

Resposta: $tg(\theta + a) = 1$

Explicação passo-a-passo:

A tangente de um ângulo é igual ao seno desse ângulo, dividido pelo cosseno do mesmo ângulo. Logo, podemos escrever:

$tg(\theta + a ) = \frac{sen(\theta + a )}{cos(\theta + a )}$

Temos que encontrar $cos a$ e $cos \theta$. Para isso, podemos usar a relação fundamental: $sen^2\theta + cos^2\theta = 1$

Substituindo $sen \theta = \frac{1}{\sqrt{5} }$ na relação:

$(\frac{1}{\sqrt{5} })^2 + cos^2\theta = 1\\ cos^2\theta = 1 - \frac{1}{\sqrt{5} }\\ cos^2\theta = \frac{4}{5} \\ cos\theta = \sqrt{\frac{4}{5} } \\ cos\theta = \frac{2}{\sqrt{5} }$

Faremos o mesmo para encontrar $cos a$, e vamos substituir $sen a = \frac{1}{\sqrt{10}}$ na relação:

$(\frac{1}{\sqrt{10} })^2 + cos^2a = 1\\ cos^2a = 1 - \frac{1}{\sqrt{10} }\\ cos^2a = \frac{9}{10} \\ cos \ a = \sqrt{\frac{9}{10} } \\ cos \ a = \frac{3}{\sqrt{10} }$

Agora, substituiremos os valores em $tg(\theta + a ) = \frac{sen(\theta + a )}{cos(\theta + a )}$:

Lembrando que: $sen(\theta + a) = sen\theta cosa + senacos\theta$  e

$cos(\theta +a) = cos\theta cosa - sen\theta sena$, temos:

$\displaystyle tg(\theta + a) = \frac{\frac{1}{\sqrt{5} }*\frac{3}{\sqrt{10} } + \frac{1}{\sqrt{10} }*\frac{2}{\sqrt{5} }}{\frac{2}{\sqrt{5} }*\frac{3}{\sqrt{10} } - \frac{1}{\sqrt{5} }*\frac{1}{\sqrt{10} }} = \frac{\frac{3}{\sqrt{50}} + \frac{2}{\sqrt{50} } }{\frac{6}{\sqrt{50}} - \frac{1}{\sqrt{50} } }$

$\displaystyle tg(\theta + a) = \frac{\frac{5}{\sqrt{50} } }{\frac{5}{\sqrt{50} } } = 1$