Question

1.0 $\large {\boxed {\sf Un=\dfrac{n-1}{2n-4}}}$


1.1.Averigua se a sucessão é monótona.


1.2.Mostra que a sucessão (Un) é limitada


1.3.Recorrendo à definição de limite de uma sucessão mostra que
$\large {\boxed {\sf \lim_{U_n} = \dfrac{1}{2} }}$

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Análise Matemática I

• ESTUDO DAS SUCESSÕES

Dada a sucessão :

$~~~~~~~~\boxed{\sf{ U_{n}~=~ \dfrac{n - 1}{2n-4} } }$

• 1.1 Averiguar se a sucessão é monótona .

Uma sucessão quanto a monotonia pode ser monótona crescente ou monótona decrescente .

• A sucessão $\sf{U_{n}}$ Será monótona crescente se e somente se :

$~~\boxed{\sf{ U_{n+1} - U_{n} > 0~\forall n\in\mathbb{N} } }$

• A sucessão $\sf{U_{n}}$ Será monótona decrescente se e somente se :

$~~\boxed{\sf{ U_{n+1}-U_{n} < 0~\forall n\in\mathbb{N} } }$

• NB: Se não se cumprirem os dois teoremas acima então a sucessão não será monótona.

$\iff \sf{U_{n+1}-U_{n}~=~ \dfrac{\red{n+1}-1}{2(\red{n+1})-4} -\dfrac{n-1}{2n-4} }$

$\iff \sf{U_{n+1}-U_{n}~=~\dfrac{n}{2n+2 -4} - \dfrac{n-1}{2n-4} }$

$\iff \sf{U_{n+1}-U_{n}~=~\dfrac{n}{2(n-1)}-\dfrac{n-1}{2(n-2)} }$

$\iff \sf{U_{n+1}-U_{n}~=~ \dfrac{n(n-2)}{2(n-1)(n-2)} - \dfrac{(n-1)(n-1)}{2(n-2)(n-1)} }$

$\iff \sf{U_{n+1}-U_{n}~=~\dfrac{ n^2-2n-n^2+2n-1}{2(n-2)(n-1)} }$

$\iff \sf{ U_{n+1}-U_{n}~=~ -\dfrac{1}{2(n-1)(n-2)} < 0~\forall n\geq 3 }$

$\iff \sf{Como~U_{n+1}-U_{n}~<~0~\forall~n\geq~3}$ Então $\sf{U_{n}}$ é Monótona decrescente .

• 1.2 Mostrar que a sucessão é limitada .

$\iff \sf{U_{n}~=~\dfrac{n-1}{2n-4}~=~\dfrac{1}{2}*\dfrac{n-1}{n-2} }$

$\iff \sf{ 2U_{n}~=~ \dfrac{n-1}{n-2}~=~\dfrac{n-2+1}{n-2} }$

$\iff \boxed{\sf{ 2U_{}~=~1+ \dfrac{1}{n-2} } }$

Seja : $\sf{ a_{n}~=~\dfrac{1}{n-2} ~,~n\neq 2}$

$\iff \sf{ 2U_{n}~=~1+ a_{n} }$

$\iff \boxed {\sf{ a_{n}~=~ 2U_{n} - 1 ~\red{n\neq~2} } }$

n

• Perceba que para $\sf{a_{n}~=~\dfrac{1}{n-2} }$

$\iff \sf{a_{1}~=~\dfrac{1}{1-2}~=~-1}$

$\iff \sf{a_{3}~=~\dfrac{1}{3-2}~=~1}$

• Perceba que os valores vão cada vez mais aumentando ...

Então para $\sf{n\geq 3 }$

$\iff \sf{ 0 < \dfrac{1}{n-2} \leq 1 }$

$\iff \sf{ 0 < a_{n} \leq 1 }$

Lembremos que $\sf{a_{n}~=~2U_{n}-1}$ Sendo assim vamos ter que :

$\iff \sf{ 0 < 2U_{n} - 1 \leq 1 }$

$\iff \sf{ 1 < 2U_{n} \leq 2 }$

$\iff\boxed{ \sf{ \dfrac{1}{2}< U_{n} \leq 1 ~\forall~n\geq 3 }}$

• Então a sucessão $\sf{U_{n}}$ é limitada $\sf{\forall n\geq 3}$ .

• 1.3 Mostrar pela definição que :

$~~~~~\displaystyle\lim U_{n}=\dfrac{1}{2}$

Definição . Diremos que o número a é limite da sucessão se :

$\boxed{\sf{ \forall\epsilon>0~\exists N~=~N(\epsilon) \in\mathbb{N}~\forall n>N : | U_{n} - a | < \epsilon } }$

Pegamos um $\sf{\epsilon>0 }$ qualquer e vamos ver o módulo da diferença entre o n–ésimo termo e o a , isto é :

$\sf{ \left| U_{n} - \dfrac{1}{2}\right|~=~\left| \dfrac{n-1}{2n-4}-\dfrac{1}{2}\right| }$

$\iff \sf{ \left| \dfrac{2n-2-2n+4}{4n-8}\right|~=~\left| \dfrac{2}{4n-8}\right|~=~\left| \dfrac{1}{2n-4}\right| ,n\neq 2}$

Lembremos que : $\sf{\left|U_{n}-\dfrac{1}{2}\right| < \epsilon }$

$\iff \sf{ \dfrac{1}{2n-4} < \epsilon }$

$\iff \sf{ 2n\epsilon - 4\epsilon > 1 }$

$\iff \sf{ n > \dfrac{4\epsilon + 1}{2} }$

• Na qualidade de N podemos tomar a parte inteira de $\sf{\dfrac{4\epsilon +1}{2} }$ isto é: $\sf{N~=~\left[ \dfrac{4\epsilon+1}{2} \right] }$ .
• C.Q.D

ESPERO TER AJUDADO BASTANTE=)