Question

1_0 conjunto de todos os triplas ordenadas de número reais da forma (0,y,0).com as operações usuais de
${R}^{3}$ é um subespaço vetorial
${R}^{3}$
2_ Os pontos A= (2, 2, 1), B=(3, 2, 2) e C= (4,4, 2)determinam um triângulo determine: a) o ângulo corressponde ao vértice A deste triângulo;
b) A projeção ortogonal do vetor AC sobre o vetor AB.
3_ Dado o conjunto S={(1,{a}^{2}, 3a), (1, 1, 1), (a, 1, 1) em
${R}^{3}$
para quais valores de a o conjunto S gera
${R}^{3}$
?.
4_Determine as equações simétricas da reta que possa pelo ponto P0=(-3,2,1) e que é paralela vetor normal do plano com equação
$2 {x} + y - z = 1$
Me ajudem por favor, respondendo uma ajuda demais ​

Answer 1

1) A afirmação é verdadeira. A prova está abaixo.

2)

  a) O ângulo é 45°.

  b) A projeção ortogonal é o vetor (2/3, 2/3, 1/3).

3) Qualquer valor real diferente de 0, 1 ou 3.

4) r: { (x,y,z) = (-3 + 2q, 2 + q, 1- 2q)

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Subespaço vetorial

Um subespaço vetorial de um espaço vetorial é também um espaço vetorial munido das operações de soma e produto por um escalar. Para confirmar se um subconjunto não vazio W de um espaço vetorial V é um subespaço vetorial, verifica-se:

• Se u e v pertencem a W, u + v deve pertencer a W;
• Se u pertence a W, então para qualquer escalar a, o vetor au também deve pertencer a W.

1) A afirmação é verdadeira. De fato, sejam dois vetores do espaço vetorial de todas as triplas ordenadas de números reais da forma (0,y,0) como representado abaixo:

u = (0,y₁,0)

v = (0,y₂,0)

Em relação à soma,

u + v  = (0,y₁,0) + (0,y₂,0) = (0, y₁ + y₂,0) = (0, y₃,0)

Logo, o conjunto é fechado em relação à soma.

Quanto ao produto por escalar:

au = a(0,y₁,0) = (0,ay₁,0) = (0, y₄,0)

Logo, o conjunto também é fechado em relação ao produto por um escalar.

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Ângulo entre vetores e projeção ortogonal

Para calcular o ângulo entre dois vetores em termos de suas coordenadas utilizamos a seguinte fórmula:

$\cos(\angle(\mathbf{u},\mathbf{v})) = \frac{ \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle}{\|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\| }$

Para a projeção ortogonal de um vetor u sobre um vetor v:

$\text{proj}_\mathbf{v}\mathbf{u} = \frac{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle}{\|\mathbf{v}\|^2} \mathbf{v}$

2) Calcula-se primeiro os vetores BA e CA:

u = BA = (3,2,2) - (2,2,1) = (1, 0, 1)

v = CA = (4,4,2) - (2,2,1) = (2, 2, 1)

  a) Aplica-se a fórmula para o cálculo do ângulo:

    $\cos(\angle(\mathbf{u},\mathbf{v})) = \frac{ \langle (1,0,1), (2,2,1) \rangle}{\sqrt{(1^2 + 0^2 +1^2)} \sqrt{(2^2 + 2^2 +1^2)} } = \frac{2 +0+ 1}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

    Logo, o ângulo é 45°.

  b) Aplicando:

  $\text{proj}_\mathbf{v}\mathbf{u} = \frac{3}{3^2} \mathbf{v} = (\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{3})$

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Conjunto gerador

Para que um conjunto de 3 vetores gere o $\mathbb{R}^3$, tais vetores devem ser Linearmente Independentes (LI). De outra forma, a matriz 3x3 cuja as linhas são os vetores deve ter determinante diferente de zero.

3) Escrevendo a matriz temos:

(1,   a^2,  3a)

(1,     1,       1)

(a,    1        1)

Calculando seu determinante, det = 3a - 4a² + a³. Como deve ser não nulo,

3a - 4a² + a³ ≠ 0   ⇒  a( 3 - 4a + a²) ≠ 0  ⇒   a( a - 1) (a - 3) ≠ 0

Logo, as raízes da equação são a = 0, a = 1 ou a = 3.

Assim, "a" pode assumir qualquer valor real diferente de 0, 1 ou 3.

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Equações da reta paralela

No plano, duas retas na forma ax + by + c = 0 são paralelas quando os coeficientes a e b são iguais. De outra forma, seus vetores diretores são paralelos. Tal forma é conhecida como equação geral da reta no plano.

4) O vetor normal do plano 2x + y - z = 1 é o vetor (2,1,-2). Como tal vetor é paralelo à reta procurada que passa pelo ponto (-3,2,1), tem-se:

tv // (2,1,-2)  ⇒  v = (2kv, kv, -2kv)    , para um certo k real

Fazendo kv = q;

P₀ + (2q,q,-2q)  =   (-3,2,1) + (2q,q,-2q)

Na forma paramétrica, a reta procurada tem equação:

r: { (x,y,z) = (-3 + 2q, 2 + q, 1- 2q)

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