Question

09) A distância do ponto P(0, 3) a reta r: 4x + 3y + 1 = 0 é superior a 3. Julgue certo ou errado

Answer 1

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas em geometria analítica.

Dado um ponto de coordenadas $P~(x_0,~y_0)$ e uma reta de equação de coeficientes reais $r:~ax+by+c=0$, a distância $d$ deste ponto à sua projeção ortogonal na reta é dada pela fórmula: $\boxed{d_{Pr}=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}}$.

Então, seja o ponto $P~(0,~3)$ e a reta $r:~4x+3x+1=0$. Devemos julgar em correto ou errado a proposição: a distância de $P$ a $r$ é superior a $3$.

Substituindo as coordenadas do ponto e os coeficientes da equação na fórmula, temos:

$d_{Pr}=\dfrac{|4\cdot0+3\cdot3+1|}{\sqrt{4^2+3^2}}$

Calcule as potências, multiplique e some os valores

$d_{Pr}=\dfrac{|0+9+1|}{\sqrt{16+9}}\\\\\\ d_{Pr}=\dfrac{|10|}{\sqrt{25}}$

Calcule a raiz e o módulo do número positivo

$d_{Pr}=\dfrac{10}{5}$

Simplifique a fração

$d_{Pr}=2~u.~c$

Esta é a distância do ponto $P$ à reta $r$. Assim, conclui-se que a proposição está errada.