Matemática, perguntado por miguelitosousa177, 4 meses atrás

09- A área do triângulo formado pelos pontos A(0,5), B(k,0) e C(6,1) é 9 unidades de área. Determine o valor de k.

Soluções para a tarefa

Respondido por Nasgovaskov

⠀⠀O triângulo formado pelos pontos A, B e C terá área igual a 9 u.a. se k = 3 ou k = 12.

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Considerações

⠀⠀A área de um triângulo formado por três vértices — cujo são três pontos não-colineares no plano cartesiano — é dada pela metade do módulo de um determinante:

$\\\Large\boldsymbol{\begin{array}{l}A_\triangle=\dfrac{|D|}{2}\end{array}}\\\\$

⠀⠀Esse determinante é formado a partir das coordenadas de três pontos quaisquer A(xa , ya), B(xb , yb) e C(xc , yc), tendo a relação:

$\\\Large\boldsymbol{\begin{array}{l}D=\left|\begin{array}{ccc}x_a&y_a&1\\x_b&y_b&1\\x_c&y_c&1\end{array}\right|\end{array}}\\\\$

⠀⠀Obs₁: o fato de usarmos o módulo do determinante é para garantir que seu resultado seja positivo, uma vez que estamos trabalhando com medidas de área não podemos admitir valores negativos.

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⠀⠀Obs₂: para saber se um triângulo existe no plano cartesiano — sem que seja preciso colocar os pontos e coligá-los para ver na prática — basta que seu determinante seja diferente de zero. Agora se o determinante for nulo significa que os pontos serão colineares, ou seja, estarão alinhados pertencendo à uma reta, não existindo triângulo algum.

Voltando à questão

⠀⠀Foi nos dados os pontos A(0 , 5), B(k , 0) e C(6 , 1), onde a área do triângulo formado por eles é igual a 9 u.a. Primeiramente, vamos calcular o determinante D:

$\\\large\begin{array}{l}D=\left|\begin{array}{ccc}x_a&y_a&1\\x_b&y_b&1\\x_c&y_c&1\end{array}\right|\\\\D=\left|\begin{array}{ccc}0&5&1\\k&0&1\\6&1&1\end{array}\right|\end{array}\\\\$

⠀⠀Para encontrar o resultado disso usamos a Regra de Sarrus, onde repetidos as duas colunas iniciais, fazemos a soma do produto da diagonal principal, e subtraímos da soma do produto da diagonal secundária:

$\\\large\begin{array}{l}D=\left|\begin{array}{ccc}0&5&1\\k&0&1\\6&1&1\end{array}\right|\,\begin{matrix}0&5\\k&0\\6&1\end{matrix}\\\\D=0\cdot0\cdot1+5\cdot1\cdot6+1\cdot k\cdot1-(1\cdot0\cdot6+0\cdot1\cdot1+5\cdot k\cdot1)\\\\D=0+30+k-(0+0+5k)\\\\D=30+k-5k\\\\\!\boxed{D=30-4k}\\\\\end{array}\\\\$

⠀⠀Obs.: é afirmado que esses três pontos são vértices de um triângulo, então com base no supradito, o determinante formado por eles é diferente de zero:

30 – 4k ≠ 0
4k ≠ 30
k ≠ 30/4
k ≠ 15/2

⠀⠀Portanto, um valor que k não poderia assumir é o 15/2, pois se ele admitir esse valor os pontos estarão alinhados. Essa informação é importante pois, mais pra frente se encontrarmos k = 15/2 já saberemos que ele não deve ser incluído.

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⠀⠀Voltando na formula resolutiva da área, sabemos que A△ = 9 u.a. e D = 30 – 4k:

$\\\large\boldsymbol{\begin{array}{l}A_\triangle=\dfrac{|D|}{2}\\\\9=\dfrac{|30-4k|}{2}\\\\9\cdot2=|30-4k|\\\\18=|30-4k|\end{array}}\\\\$

⠀⠀Portanto chegamos numa equação modular. Sabemos que se |x| = y com y > 0, x = y ou x = – y, então:

$\\\large\boldsymbol{\begin{array}{l}\begin{cases}30-4k=18\\\\4k=-\,18+30\\\\4k=12\\\\k=\dfrac{12}{4}\\\\\boxed{k=3}\end{cases}\\\\ou\\\\\begin{cases}30-4k=-\,18\\\\4k=18+30\\\\4k=48\\\\k=\dfrac{48}{4}\\\\\boxed{k=12}\end{cases}\end{array}}\\\\$

⠀⠀Resposta: dessa forma, k pode ser igual a 3 ou 12, e assim, assumindo um desses valores a área do triângulo será igual a 9.a.

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$\!\!\!\!\Large\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}$

⠀⠀Nota: coloquei os pontos no plano cartesiano vide anexo para você ver que o triângulo existe com k = 3 ou k = 12. Porém, com k= 15/2 se forma uma reta, que foi o valor excluído por nós no meio da resolução.

$\!\!\!\!\Large\begin{array}{l}\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}$