Question

08. (UFC) Considere dois osciladores, um pêndulo simples e um sistema massa-mola, que na

da Terra têm períodos iguais. Se levados para um planeta onde a gravidade na superfície é 1/4 da

gravidade da superfície da Terra, podemos dizer que a razão entre o período do pêndulo e o período do

sistema massa-mola, medidos na superfície do tal planeta, é:

Answer 1

Boa tarde!

Não farei a dedução das equações do pêndulo simples e do sistema massa-mola vertical pois é muito trabalhoso e damanda tempo para fazer os desenhos (espero que entenda). Assim, vamos direto as relações.
Sabemos que o período do pêndulo (que chamarei de $T_{P}$) e do MHS vertical (que chamarei de $T_{MHS}$) podem ser expressos, respecticamente, por:

$T_{P}=2$π$\sqrt{ \frac{L}{g}}$

$T_{MHS}=2$π$\sqrt{ \frac{m}{k}}$

Como disse o enunciado, na Terra seus períodos são iguais; portanto

$T_{P}=T_{MHS}$, e expandindo as expressões:

$2$π$\sqrt{ \frac{L}{g}}$=$2$π$\sqrt{ \frac{m}{k}}$

$\frac{L}{g}= \frac{m}{k}$

Agora, levaremos nosso sistema ao outro planeta onde $g_{2}= \frac{1}{4}g$. Resolvendo o mesmo sistema para $g_{2}$:

$2$π$\sqrt{ \frac{L}{g_{2}}}$=$2$π$\sqrt{ \frac{m}{k}}$, mas $g_{2}=\frac{1}{4}g$

$\sqrt{\frac{L}{g/4}}= \sqrt{\frac{m}{k}}$

$\frac{L}{g/2}= \frac{m}{k}$

Sabendo que $\frac{L}{g}=T_{P}$ e $\frac{m}{k} =T_{MHS}$, podemos reescrever a equação acima como:

$T_{P}/2=T_{MHS}$

E a razão $\frac{T_{P}}{T_{MHS}}$ fica

$\frac{T_{P}}{T_{MHS}} = 2$

Abraço!