Question

08-Se as retas 2y+x+8=0 e my+2x+12=0 são paralelas, então o coeficiente m vale:
a)2 b)3 c)4 d)5
Quero cálculos!

Answer 1

O valor de m vale: c) 4.

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Duas retas r₁ e r₂ são paralelas e distintas se, e somente se, não possuírem pontos de intersecção em comum (notação: r₁ $\cap$ r₂ = ∅). Considerando as equações gerais r₁: a₁x + b₁y + c₁ = 0 e r₂: a₂x + b₂y + c₂ = 0 dessas retas, uma das relações entre seus coeficientes que faz-nos saber se elas são paralelas e distintas é: ter a razão entre a₁ e a₂ igual a razão dentre b₁ e b₂ e diferente da razão entre c₁ e c₂.

Assim, podemos utilizar essa relação para encontrar m, uma vez que as retas r₁: 2y + x + 8 = 0 e r₂: my + 2x + 12 = 0 são paralelas:

$\sf\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}\neq\dfrac{c_1}{c_2}$

$\sf \dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{m}\neq\dfrac{8}{12}$

$\sf \dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{m}~\land~\dfrac{2}{m}\neq\dfrac{2}{3}$

Para evitar limitações na manipulação algébrica, analisemos o caso m = 0 (2/0 não deve ocorrer por ser uma indefinição matemática, por isso buscaremos uma forma de eliminar esse valor para m). Se m = 0, teríamos retas concorrentes, uma vez que r₂ seria vertical e faria um único ponto de intersecção com r₁. Logicamente não queremos retas concorrentes, então nesse contexto m ≠ 0. Seguindo aos cálculos:

$\sf m\cdot1=2\cdot2~\land~m\cdot2\neq3\cdot2$

$\sf m=4~\land~m\neq3$

Logo, as retas são paralelas se m for igual a 4 (alternativa c).

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Bons estudos e um forte abraço. — lordCzarnian9635.