Question

(08) se a soma das areas dos três circulos de mesmo raio é 3 π , a area do triangulo equilatero ABC é :
a) 7 √ 2 + 12 c) 19 √3 e) 4√3 + 6

b) 7+4 √3 d) 11 √3

me ajudeeeeeemmm

Answer 1

Resposta:

Vamos, primeiramente, encontrar a altura do triângulo em função de l.

Seja h a altura do triângulo equilátero. Temos que a hipotenusa vale l e o cateto menor l/2. Por pitágoras, temos:

${l}^{2} = {h}^{2} + ( \frac{l}{2} )^{2}$

$h = l \frac{ \sqrt{3} }{2}$

Agora encontraremos a área em função de l:

$A _{t} = \frac{b.h}{2}$

$A _{t}= \frac{l.l \frac{ \sqrt{3} }{2} }{2}$

$A _{t}= {l}^{2} \frac{ \sqrt{3} }{4}$

Encontramos a área em função de l. Agora temos que encontrar o raio do círculo. Já que ambas as áreas são iguais, podemos dizer que:

$A_{c} = \pi. {r}^{2}$

$\pi = \pi. {r}^{2}$

$r = 1$

Perfeito! Encontramos o raio, agora temos que encontrar o lado do triângulo equilátero. Como a imagem mostra, podemos aplicar a razão cotangente:

$\cot(30°) = \frac{CD}{1}$

$CD = \sqrt{3}$

Dessa forma, temos que o lado do triângulo equilátero vale:

$l = 2 + 2 + \sqrt{3} + \sqrt{3}$

$l = 4 + 2 \sqrt{3}$

Já que encontramos o lado, basta colocá-lo na fórmula da área do triângulo equilátero:

$A _{t} = \frac{(4 + 2 \sqrt{3})^{2} \sqrt{3} }{4}$

$A _{t} = \frac{(28 + 16 \sqrt{3} ) \sqrt{3} }{4}$

$A _{t} = \frac{4(7 + 4 \sqrt{ 3} ) \sqrt{3} }{4}$

$A_{t} = (7 + 4 \sqrt{ 3} ) \sqrt{3}$

$A _{t} = 7 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3} \sqrt{3}$

$A _{t} = (7 \sqrt{3} + 12 )\: u.c$