Question

08)Caicule a área do triângulo de vértices A(0,2), B(8, 6) e C(14, -- 8).
​

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas em geometria analítica.

Seja um triângulo cujos vértices se encontram nas coordenadas $(x_1,~y_1),~(x_2,~y_2)$ e $(x_3,~y_3)$. Sua área pode ser calculada utilizando a seguinte fórmula:

$A=\dfrac{1}{2}\cdot\begin{Vmatrix}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\\\end{Vmatrix}$

Então, seja o triângulo de vértices $A~(0,~2),~B~(8,~6)$ e $C~(14,\,-8)$. Devemos calcular sua área.

Substituindo as coordenadas dos vértices na fórmula, temos:

$A=\dfrac{1}{2}\cdot\begin{Vmatrix}0&2&1\\8&6&1\\14&-8&1\\\end{Vmatrix}$

Para calcular este determinante, utilize a Regra de Sarrus: consiste em replicar as duas primeiras colunas à direita da matriz original e calcular a diferença entre a soma dos produtos dos elementos das diagonais principais e a soma dos produtos dos elementos das diagonais secundárias.

Replicando as colunas, temos:

$A=\dfrac{1}{2}\cdot\left.\begin{Vmatrix}0&2&1\\8&6&1\\14&-8&1\\\end{vmatrix}\begin{matrix}0&2\\8&6\\14&-8\\\end{matrix}\right|$

Aplique a regra de Sarrus

$A=\dfrac{1}{2}\cdot|0\cdot6\cdot1+2\cdot1\cdot14+1\cdot8\cdot(-8)-(2\cdot8\cdot1+0\cdot1\cdot(-8)+1\cdot6\cdot14)|$

Multiplique e some os valores

$A=\dfrac{1}{2}\cdot|0+28-64-(16+0+84)|\\\\\\ A=\dfrac{1}{2}\cdot|-36-100|\\\\\\ A=\dfrac{1}{2}\cdot|-136|$

Calcule o módulo do número negativo, sabendo que $|x|=\begin{cases}x,~se~x>0\\-x,~se~x<0\\\end{cases}$

$A=\dfrac{1}{2}\cdot(-(-136))\\\\\\\ A=\dfrac{1}{2}\cdot 136$

Multiplique os valores

$A=68~\bold{u.~a}$

Esta é a área deste triângulo.